ECUACIONES HOMOGENEAS

ECUACIONES HOMOGENEAS
Si una función tiene la propiedad para algún número real , entonces se dice que es una función homogénea de grado . Por ejemplo es una función homogénea de grado 3,ya que
,
Mientras que es no homogénea. Una ED de primer orden en forma diferencial

Se dice que es homogénea si ambas funciones coeficientes M y Nson ecuaciones homogéneas del mismo grado. En otras palabras, la ecuación es homogénea si
y

METODO DE SOLUCION
Si M y N son funciones homogéneas de grado , podemos escribiry donde
Yy donde

Las propiedades y sugieren las sustitucionesque se pueden usar para resolver una ecuación diferencial homogénea.
En concreto, cualquiera de las sustituciones o , donde y son las nuevas variables dependientes, reducirán una ecuaciónhomogénea a una ecuación diferencial de primer orden separable. Para mostrar esto, observe que como consecuencia de una ecuación homogénea se puede reescribir como
o bien ,
dondeo . Sustituyendo la diferencial en la última ecuación y agrupando términos, obtenemos una ED separable en las variables y :










Prob 1)
Resuelva
SoluciónExaminando a y a se muestra que estas funciones coeficientes son homogéneas de grado 2. Si hacemos , entonces , de modo que después de sustituir, la ecuación dada seconvierte en




Después de integrar la última ecuación se obtiene


Utilizando las propiedades de los logaritmos, podemos escribir la solución anterior como



Prob 2)
Resuelva la ecuación...