Ecuaciones logaritmicas

SEMANA 4 Tema: Ecuaciones Exponenciales

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ECUACIONES EXPONENCIALES
Se conoce como función exponencial a una ecuación donde la incógnita forma parte de los exponentes. Ejemplos:

8x  512

,

2 x 1  10

Si a  0 , entonces a x  0  x  R Para resolver ecuaciones exponenciales se debe tener en cuenta lasreglas de la teoría de exponentes: 1. a m .a n  a mn 2. 4. a
n

a  a mn an

m

1 1    n a a

n

5. a 0  1 6. 1n  1

3. a m

 

n

 a m. n

Una ecuación exponencial puede tener distintas formas para ello vamos a utilizar distintos métodos para resolver cada uno de los tipos más comunes. 1°) Método de reducción a una base común Si Ejemplos: 1.

b0

y

b0

b f ( x )  b g ( x )  f(x)  g(x)

4x  82 x3

2.

3x2  3x1  3x  3x1  120 32  3x  3x  3  3x  3x  31  120

2   2 
2 x

3 2 x3

22 x  23(2 x3)

1 3x (9  3  1  )  120 3 3x  40  120 3
3x  32
x2

2 x  3  2 x  3
2x  6x  9 9  4x

9 x 4

1
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3.

4    10  2   5

x 1 625     100   25     4

6 x 5

x 1  10 12 x

13x  11

x 1

6 x 5

x

11 13

2   5
2   5

x 1

 52  2 2 
5   2

   

6 x 5
3 x 1

4.

10 2 x1  100 10 2 x1  102
3 x 1

x 1

2 ( 6 x 5 )

2   5
2   5

x 1

 2  1       5    
2   5

2 ( 6 x 5 )

3x  1 2 2x1

3x  1  2(2 x  1) , x 
3x  1  4 x  2
3  x

x 1

2 ( 56 x )

1 2

x  1  2(5  6 x)

2°) Aplicando cambio de variable Ejemplos: 1. Resolver la siguiente ecuación: 9 x  2.3 x  2  81  0 Solución:

9x  2.3x.32  81  0

3 

2 x

 18.3x  81  0  18.3x  81  0

3 

x 2

Si hacemos el siguiente cambio: a  3 x , tenemos:

a 2  18a  81  0

 a 9

2

0

a9

2
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Pero a  3 x , entonces

9  3x 32  3x
2 x
Por tanto el C.S = 2 2. Resolver la siguiente ecuación: 6 x  9.6 x  8  0

Solución:

6x 

9 8  0 6x

6 x.6 x  9  8.6 x 0 6x
62 x  9  8.6x  0
Si hacemos el siguiente cambio: a  6 x >0, tenemos:

a 2  9  8a  0 a 2  8a  9  0 (a  1)(a 9)  0
a 1
Como

a  9 (No tiene sentido porque a>0) a 1

6x  1
x0
Por tanto el C.S. = 0

3°) Aplicando las propiedades de las potencias

2 Resolver la siguiente ecuación: 10 x  x  2  1 2 10 x  x  2  100
3
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x2  x  2  0
( x  1)( x  2)  0
x 1  x  2

4°) Aplicando logaritmos en ambos lados de una ecuaciónResolver la siguiente ecuación: 55  3 x  2 x  2 Aplicando logaritmo a ambos miembros se tiene

(5  3x)log5  ( x  2)log 2

log5 x  2  log 2 5  3x
log x b , log x  a log a b

Recordar que:

entonces:

log 2 5 

x2 5  3x

(5 - 3x)log 2 5  x  2 5log 2 5  3x log 2 5  x  2 5log 2 5  2  x(1  3log 2 5)

5log 2 5  2 x 1  3log 2 5

EJERCICIOS PROPUESTOS NIVEL IResuelve las siguientes ecuaciones exponenciales.

5x  15625 2. 23 x1  128 3. 83 x1  1 1 4. 4 x  256
1.

1 8 2 x1  729 6. 9 x 7. 5  3 8. 0.2x  0.0016
5.

21 x 
2

4
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9.

21 x 
2

1 32

37. 5x2 3125x1  x3 15625x2  0 38.

10. 11x 11. 6 x 12. 5x
2

2

3 x 37

 7 x 9

 1331 1  6

 2

x 2 3x  2

 2 x1

39. 4 x

x 2 5

 12 2 x1



x 2 5

8  0

2

2 x  4

 125

40. 2 81x  36 x  3 16 x 41. 12  3 2 x   3 x  27

 
 
1

 

13. 5x  14. 15. 16. 17.

5  24  0 5x1 5x1  5x  750 2x  2x3  3 7 x  7 x1  6 2x2  2x1  28
2

 

1

42. 34 43.

x

 4 32

 3
x

 

4

10  3 
x

 
x

4...