Ecuaciones Maxwell
Páginas: 32 (7799 palabras)
Publicado: 13 de marzo de 2013
Campos electromagnéticos para Ingenieros electrónicos
ECUACIONES DE MAXWELL EN MEDIOS MATERIALES
Los dieléctricos, son materiales eléctricamente neutros, donde sus electrones están
ligados a los átomos o moléculas que lo forman; cuando se someten a un campo
eléctrico externo, cuando se someten a un campo eléctrico externo, se presentan
pequeños desplazamientos de los electrones y es loque conocemos como
polarización.
cuando actúa el campo eléctrico se forman dipolos eléctricos, que tienen un
momento dipolar dado por
.
El dieléctrico en su conjunto, presentará un
momento dipolar total inducido que será la suma de los momento de los átomos.
Cada momento dipolar genera un potencial escalar estático
en el punto de
observación
.
Ahora consideremos eldieléctrico de volumen V dentro del campo electrico y
dividamos en elementos diferenciales
′, luego cada diferencial contiene un
conjunto de dipolos dado por
1
INGENIERO M.Sc LORENZO MATTOS VASQUEZ
Campos electromagnéticos para Ingenieros electrónicos
.
Pero el número de dipolo contenido en un
′ crea un diferencial de potencial
dado por:
(3)
∑
remplazando(2) en (3) tenemos:
∑
.
(4).
Pero definamos un vector de polarización dado por:
∑
′
(5)
despejando la sumatoria tenemos
∑
′ (6)
′
′.
remplazando en (4)
′ (7)
integrando tenemos:
′
′.
′
utilizando la identidad :
remplazamos (9) en (8)
′ (8)
′
′
(9)
′
′
.
|
|
′ (10)
2
INGENIERO M.Sc LORENZO MATTOS VASQUEZ
Camposelectromagnéticos para Ingenieros electrónicos
utilizando el teorema de gauss tenemos
′.
.
′
′
.
′
′
′ (11)
′
ésta ecuación nos muestra la presencia de un campo electrico inducido.
Pero en el vacio teniamos la ecuación:
′
′
′
′
′ (12)
′
comparando las ecuaciones (11) y (12)
El numerador del integrando del primer término de ecuación (11)
′.es equivalente a la densidad volumétrica de carga equivalente de
polarización
el numerdor del integrando del primer término de la ecuación (12)
es la
densidad de carga superficial
′.
luego :
(13)
El numerador del integrando del segundo término de la ecuación (11)
.
′ es equivalente a la densidad de carga equivalente de polarización
el numerdor del integrando delsegundo término de la ecuación (12)
′
es la
densidad de carga de polarización
luego:
′
′.
′ (14).
3
INGENIERO M.Sc LORENZO MATTOS VASQUEZ
Campos electromagnéticos para Ingenieros electrónicos
Ahora vamos a suponer que existan corrientes equivalentes de polarización y
cargas equivalentes de polarización y tomemos las derivadas parciales de la
ecuación (13)
igualando acero tenemos:
(14) esta ecuación
es similar a:
.
que representa la ecuaciónn de continuidad de las cargas
electricas, lo que nos lleva a concluir que la ecuación (14), es la ecuación de
continuidad de las cargas de polarización.
donde
(15)
representa la densidad de corriente de polarización
utilizando estos argumentos, vamos a suponer que en nuestro medio dieléctricoestán presentes por analogias con el vacio, debe cumplirse:
.
(16)
.
pero
′.
′
.
multiplicando por
remplazando tenemos:
.
′
(17)
y transponiendo términos tenemos:
.
.
.
.
.
(18)
esta ecuación representa la ley de Gauss
4
INGENIERO M.Sc LORENZO MATTOS VASQUEZ
Campos electromagnéticos para Ingenieros electrónicos
el campo magnético será creado porcorrientes de conducción y de polarización
luego :
(19)
esta ecuación representa la ley de ampere maxwell.
Como no existen cargas magnéticas,
.
(20)
por último la ley de faraday solo vincula los campos tenemos:
(21)
Ahora tenemos que resolver las ecuaciones de maxwell para el cual tenemos que
hallar una relación entre el vector
y el vector campo electrico
, pero...
ECUACIONES DE MAXWELL EN MEDIOS MATERIALES
Los dieléctricos, son materiales eléctricamente neutros, donde sus electrones están
ligados a los átomos o moléculas que lo forman; cuando se someten a un campo
eléctrico externo, cuando se someten a un campo eléctrico externo, se presentan
pequeños desplazamientos de los electrones y es loque conocemos como
polarización.
cuando actúa el campo eléctrico se forman dipolos eléctricos, que tienen un
momento dipolar dado por
.
El dieléctrico en su conjunto, presentará un
momento dipolar total inducido que será la suma de los momento de los átomos.
Cada momento dipolar genera un potencial escalar estático
en el punto de
observación
.
Ahora consideremos eldieléctrico de volumen V dentro del campo electrico y
dividamos en elementos diferenciales
′, luego cada diferencial contiene un
conjunto de dipolos dado por
1
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.
Pero el número de dipolo contenido en un
′ crea un diferencial de potencial
dado por:
(3)
∑
remplazando(2) en (3) tenemos:
∑
.
(4).
Pero definamos un vector de polarización dado por:
∑
′
(5)
despejando la sumatoria tenemos
∑
′ (6)
′
′.
remplazando en (4)
′ (7)
integrando tenemos:
′
′.
′
utilizando la identidad :
remplazamos (9) en (8)
′ (8)
′
′
(9)
′
′
.
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′ (10)
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utilizando el teorema de gauss tenemos
′.
.
′
′
.
′
′
′ (11)
′
ésta ecuación nos muestra la presencia de un campo electrico inducido.
Pero en el vacio teniamos la ecuación:
′
′
′
′
′ (12)
′
comparando las ecuaciones (11) y (12)
El numerador del integrando del primer término de ecuación (11)
′.es equivalente a la densidad volumétrica de carga equivalente de
polarización
el numerdor del integrando del primer término de la ecuación (12)
es la
densidad de carga superficial
′.
luego :
(13)
El numerador del integrando del segundo término de la ecuación (11)
.
′ es equivalente a la densidad de carga equivalente de polarización
el numerdor del integrando delsegundo término de la ecuación (12)
′
es la
densidad de carga de polarización
luego:
′
′.
′ (14).
3
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Campos electromagnéticos para Ingenieros electrónicos
Ahora vamos a suponer que existan corrientes equivalentes de polarización y
cargas equivalentes de polarización y tomemos las derivadas parciales de la
ecuación (13)
igualando acero tenemos:
(14) esta ecuación
es similar a:
.
que representa la ecuaciónn de continuidad de las cargas
electricas, lo que nos lleva a concluir que la ecuación (14), es la ecuación de
continuidad de las cargas de polarización.
donde
(15)
representa la densidad de corriente de polarización
utilizando estos argumentos, vamos a suponer que en nuestro medio dieléctricoestán presentes por analogias con el vacio, debe cumplirse:
.
(16)
.
pero
′.
′
.
multiplicando por
remplazando tenemos:
.
′
(17)
y transponiendo términos tenemos:
.
.
.
.
.
(18)
esta ecuación representa la ley de Gauss
4
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Campos electromagnéticos para Ingenieros electrónicos
el campo magnético será creado porcorrientes de conducción y de polarización
luego :
(19)
esta ecuación representa la ley de ampere maxwell.
Como no existen cargas magnéticas,
.
(20)
por último la ley de faraday solo vincula los campos tenemos:
(21)
Ahora tenemos que resolver las ecuaciones de maxwell para el cual tenemos que
hallar una relación entre el vector
y el vector campo electrico
, pero...
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