ecuaciones parametricas

Matemáticas III

TESCI
Unidad II

CURVAS PLANAS, ECUACIONES PARAMETRICAS Y
COORDENADAS POLARES
2.1 CURVAS PLANAS Y ECUACIONES PARAMETRICAS
Hasta ahora conocemos la representación de una grafica mediante una ecuación con dos
variables. En este tema estudiaremos las situaciones en las que se emplean tres variables
para representar una curva en el plano.
Antes de resolver algunos ejemplosde curvas en el espacio, introducimos un nuevo tipo
de funciones, que se denominan funciones vectoriales; las cuales se aplican en números
reales y vectoriales.
DEFICINION DE FUNCIONE VECTORIAL
Se llama asi a cualquier funcion de la forma:

r (t )

f (t ) i

g (t ) j

r (t )

f (t ) i

g (t ) j

Plano
h(t ) k

Espacio

DEFINICION DE UNA CURVA PLANA
Si “f y g” son funcionescontinuas en “t” en un intervalo intervalo abierto I, entonces las
ecuaciones x=f(t) y g(t) se les llama ecuaciones parámetros y a “t” se le llama parámetro.
Al conjunto de puntos (x,y) que se obtienen cuando t varia sobre el intervalo I se le llama
grafica de las ecuaciones paramétricas. A las ecuaciones paramétricas y a la grafica
junta, es a lo que se llama curva plana, que se denota porC.

Profr. Julio Meléndez Pulido

2010-2

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2.2 ECUACIONES PARAMETRICAS DE ALGUNAS CURVAS Y SE
REPRESENTACION GRAFICA

Ejemplo: Trazar la curva dada por las ecuaciones parametricas x
T

-2

-1

0

1

2

0

-3

-4

-3

0

-1

-1/2

0

1/2

1

2

en:

5

Y

t

4y y

3

X

t2

3/2

Esbozar la curva dadapor la ecuación paramétricas: x

T

-1

-1/2

0

1/2

1

0

-3

-4

-3

0

-1

-1/2

0

1/2

1

t desde

t

1
3
2

5

y

t

4 ; y

3/2

X

4t 2

3/2

Profr. Julio Meléndez Pulido

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Profr. Julio Meléndez Pulido

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Trace la curva representadapor x

3Cos

e y

4Sen

cuando

0 y

2

encuentre también su ecuación paramétrica.

θ

0

π/2

π

3π/2

2π

X

3

0

-3

0

3

Y

0

4

0

-4

0

x
y

3Cos
4Sen
x
Cos

3

y

Sen

4
Cos
Sen 2
Re escriviend o
2

x2
9

y2
16

1

1

Profr. Julio Meléndez Pulido

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2.3DERIVADA DE UNA FUNCION DADA PARAMETRICAMENTE
DEFINICIÓN DE LA DERIVADA DE UNA FUNCION VECTORIAL
La derivada de una función vectorial r se define como:

r ' (t )

r (t

lim
t

t ) r (t )
t

0

DEFINICION DE LA DERIVADA EN FORMA PARAMETRICA

Si una curva suave C viene dada por las ecuaciones x
en (x,y) es:

dy
dx

dy
dt , dx
dx dt
dt

f (t ) , y

g (t ) , la pendientede C

0

Partiendo de la función general de derivación (regla general) demuestre la definición de
derivada en forma parametrica.

y
x

dy
dx
g (t

y
x

lim
t

0

dy
dx

dy

dy
dx

dg
dt
df
dt

dg
df

g ' (t )
f ' (t )

Hallar

f (t

t ) g (t )
t
t ) f (t )
t

dx

para la curva dada por x

Profr. Julio Meléndez Pulido

Sent e y

Cost2010-2

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dy
dt
dx
dt

dy
dx

Dada: x

dy
dx

2

d y
dx 2

d3y
dx 3

dCost
dt
dSent
dt
1 2
t
4

t e y

dy
dt
dx
dt

t
2
1

Sent
Cost

t

Tant

4 con t

0 , encuentre el valor de su pendiente.

3
2

2 t

d dy
dx dx

d d2y
dx dx 2

d dy
dt dx
dx
dt

d d2y
dt dx 2
dx
dt

Profr. Julio MeléndezPulido

Segunda Derivada

Tercera Derivada

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2.4.- LONGITUD DE ARCO EN FORMA PARAMETRICA.
LONGITUD DE ARCO EN FORMA PARAMÉTRICA.
Si una corva suave dada por
intersecciones en el intervalo
intervalo vine dada por:

y
no tiene auto
, entonces la longitud de arco de

en el

Ejemplos:
1.- Encuentre la circunferencia del elipse dada...