Ecuaciones

Resumen
Desarrollo
Surgimiento de las primeras teorías generales
Importancia y algunas ideas fundamentales
Las raíces históricas del Análisis Armónico
El Problema de la cuerda musical y la teoría de las ondas.
El problema de la propagación del calor y las series de Fourier
Creación del aparato analítico - fenómenos electromagnéticos
Sobre el aparato matemático de la mecánica
Brevecomentario sobre algunos valiosos aportes de una mujer sorprendente
Aspectos Biográficos
Conclusiones y Recomendaciones
Bibliografía

"Las ecuaciones diferenciales se convirtieron y permanecen

en el corazón de las matemáticas".

Morris Kline

RESUMEN

La teoría de las ecuaciones diferenciales e integrales es con toda seguridad la disciplina de las matemáticas con una más clara motivaciónaplicada. Tengamos en cuenta que la inmensa mayoría de estas ecuaciones deben sus nombres a personalidades científicas de la ciencia tecnológica aplicada y surgen como modelos matemáticos asociados a diferentes fenómenos de la Física (movimiento vibratorio, difusión del calor, ...), Química (procesos de reacción-combustión), Biología (estudio de especies biológicas), Óptica (procesos de difusión dela luz), Estadística (procesos estocásticos), Economía (optimización del rendimiento), Ingeniería (diseño óptimo de vigas) por citar algunos ejemplos de la interminable lista. Por todo ello, el estudio de estas ecuaciones es muy importante y resulta de indudable interés.

Siendo ese el propósito del presente trabajo, concentraré la labor en abordar con mayor profundidad los s. XVIII y XIXvitales para el desarrollo de esta singular disciplina, invitándolos a dar un paseo científico que espero y deseo sea de su agrado.

I.NTRODUCCIÓN

A partir de la segunda mitad del s. XVII con el surgimiento del análisis infinitesimal por Newton y Leibniz como principales exponentes, se comienza a desarrollar el concepto de función, de diferencial así como las operaciones con éstos, surgiendo deesta forma ciertas ecuaciones las cuales fueron llamadas diferenciales, sobre las cuales se desarrolló toda una teoría para su solución. En un comienzo estas ecuaciones modelaban problemas de la Mecánica, la Hidromecánica y la Astronomía.

Particularmente en esta rama del análisis matemático se revelaba fuertemente la influencia determinante de los problemas de las ciencias exactas, en primerlugar la Mecánica y la Física Matemática y la estrecha interrelación de las investigaciones teóricas y prácticas. Sumamente necesario e importante resulta destacar el papel de las Ecuaciones en Derivadas Parciales (EDP) en los problemas de la física matemática, las cuales se desarrollaron notablemente en el s. XVIII a partir de la Teoría de la Mecánica de los Medios Continuos, así como la conduccióndel calor, Mecánica de los Fluidos, electromagnetismo, mecánica cuántica, la Física Relativista y otras partes de la Física. No existe un método general de resolver las EDP, pero desde finales del s. XVIII varios tipos de ecuaciones han hallado su propia solución general.

Durante el s. XIX, los problemas de valores iniciales y de límite (frontera) ensombrecieron la búsqueda de solucionesgenerales mientras que los teoremas de existencia han dominado gran parte de la investigación de la Matemática Pura en las EDP durante el s. XX.

Los objetivos esenciales que persigo lograr con esta investigación, consisten en destacar la importancia así como el surgimiento de algunos problemas de la Física Matemática y de como se fueron desarrollando las ideas en cuanto a la resolución de éstos porparte de algunos de los matemáticos más notables de la época.

II. DESARROLLO

II.1. Surgimiento de las primeras teorías generales

En los primeros años del s. XVIII los problemas físicos de vibraciones o de tipo oscilatorio, que conducían a funciones trigonométricas, exponenciales o logarítmicas, se resolvían frecuentemente en términos geométricos. El seno o el coseno eran considerados como...