ecuaciones

ITESM, Campus Monterrey
Departamento de Matem´ticas
a
MA-841: Ecuaciones Diferenciales
Lectura #8

2

Profesor: Victor Segura Flores

Unidad II: Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior

2.1

Ecuaciones Diferenciales Reducibles en Orden

Una ecuaci´n diferencial ordinaria de segundo orden, como dijimos anteriormente, es una
o
ecuaci´n donde aparece la segunda derivada de unafunci´n desconocida y no aparecen
o
o
derivadas de orden mayor. Una ecuaci´n diferencial de segundo orden es de la forma
o
F (x, y,

dy d2 y
,
)=0
dx dx2

por ejemplo
d2 y
dy
−
+ ex seny = 0
dx2 dx
En general las ecuaciones de este tipo son muy dif´
ıciles de resolver. Sin embargo, para tipos
especiales de estas ecuaciones se conocen sustituciones que transforman la ecuaci´noriginal
o
en una que puede resolverse en forma r´pida. un m´todo consiste en hacer una adecuada
a
e
sustituci´n para rebajar el orden y, despu´s, tratar de resolver el resultado. Los ejemplos
o
e
mostrados en la primera secci´n son de ese tipo.
o
3x2

Consideremos los siguientes casos:
2.1.1

Cuando no aparece la variable dependiente ni su primera derivada

La ecuaci´n toma laforma
o
F (x,

d2 y
)=0
dx2

Estas ser´n expresables siempre como
a
d2 y
= f (x)
dx2
que se pueden reducir a primer orden haciendo la sustituci´n z =
o
d2 y
dz
o
dx = dx2 . Haciendo este cambio la ecuaci´n toma la forma
dz
= f (x)
dx
que es una ecuaci´n de primer orden. Se puede escribir como
o
dz − f (x)dx = 0
es una ecuaci´n exacta cuya soluci´n es
o
o
z−

f (x)dx =C1

dy
dx ,

lo que implica que

o bien
z=
como z =

dy
dx ,

f (x)dx + C1

reemplazando obtenemos nuevamente una ecuaci´n de primer orden
o
dy
=
dx

f (x)dx + C1

que se escribe como
dy −

f (x)dx + C1 dx = 0

la cual es exacta. Su soluci´n es
o
y−

f (x)dx dx − C1 x = C2

y=

f (x)dx dx + C1 x + C2

Observamos que la soluci´n de la ecuaci´n diferencial desegundo orden tiene una
o
o
soluci´n que posee dos constantes arbitrarias, C1 y C2 , esto se debe a que se tuvieron
o
que realizar dos integraciones para obtener la soluci´n.
o
Para obtener una soluci´n particular, determinando los valores C1 y C2 , se requiere de
o
dos condiciones en el problema, condiciones sobre la funci´n desconocida y sus derivadas eso
pecificadas en un valor de lavariable independiente, llamadas condiciones iniciales. Este tipo
de condiciones se manejaron en los ejemplos de la primera parte especificando la posici´n
o
inicial, x0 , y la velocidad inicial, v0 , en t = 0. O condiciones sobre la funci´n desconocida
o
especificadas en 2 o m´s valores de la variable independiente, como y (x0 ) = y0 , y (x1 ) = y1 ,
a
llamadas condiciones frontera.Ejemplo
Resolver la ecuaci´n de segundo orden
o
(1 − x2 )

d2 y
+ x3 = 0
dx2

Como es una ecuaci´n en la cual no parece la variable dependiente, y , ni su primera
o
dy
dy
d2
dz
derivada, dx , podemos reducirla de orden haciendo z = dx y por lo tanto dx = dxy .
2
Nota: Usaremos simplemente la letra y para denotar a la funci´n y que depende de x, y no y (x).
o

La ecuaci´n toma laforma
o

dz
+ x3 = 0
dx
x3
dz
=−
dx
1 − x2
x3
dz +
dx = 0
1 − x2
esto es una ecuaci´n diferencial de primer orden exacta, su soluci´n es
o
o
(1 − x2 )

z+

x3
dx = C1
1 − x2
2

para encontrar la antiderivada que esta indicada, dividimos x3 entre 1 − x2 obteniendo
−x +

z+

x
dx = C1
1 − x2

que se puede escribir como
z−

xdx −

antiderivando

−2x
dx = C11 − x2

1
2

z−
z=
reemplazando z =

x2 1
− ln(1 − x2 ) = C1
2
2
x2 1
+ ln(1 − x2 ) + C1
2
2

dy
dx

dy
x2 1
=
+ ln(1 − x2 ) + C1
dx
2
2
obtenemos nuevamente una ecuaci´n de primer orden exacta
o
dy −
resolviendo
dy −

x2 1
+ ln(1 − x2 ) + C1 dx = 0
2
2
x2 1
+ ln(1 − x2 ) + C1 dx = C2
2
2

x3 1
−
ln(1 − x2 )dx − C1 x = C2
6
2
podemos resolver la...