ecuaciones

UNIVERSIDAD DEL CAUCA
FIC Y FIET
Modelos Matemáticos que Responden ED de Primer Orden
Lecturas de Clase

Modelo de Crecimiento Poblacional
Características del modelo
 Estudia el crecimiento para poblaciones aisladas, es decir no se tiene en cuenta
emigraciones ni migraciones.
 El crecimiento depende fundamentalmente de los procesos de nacimiento y de
muerte.
 La tasa de crecimientode una población  se define como la razón de la rapidez de
cambio del tamaño de población en el tiempo y el tamaño de la población.
En consecuencia, si se considera P  P  t  representa el tamaño de la población el
tiempo, entonces  

P  t 
P t 

I. Modelo de Malthus (econimista)
Propuesta: supone que la tasa de crecimiento es constante,   a .

d P
 aP

Ecuacióndiferencial  dt
P t   P
0
0


Solución P  t   P0 e



a t t 0



Otros problemas que se modelan según la propuesta de Malthus
 Interés compuesto continuamente
Sea

c  c t 

el

capital

de

una cuenta que

paga intereses

compuestos

continuamente a una tasa de interés  , la cual se define como  

c  t 
, de ahí:
c t 

dc
 d t  acEcuación diferencial 
y
c  t   C
 0

cuya solución: c  t   Ce



a t t 0



. Donde C

representa el capital inicial y a representa el interés compuesto anual.
 Desintegración Radioactiva
Sea A  A  t  la cantidad de átomos de una substancia, se supone que la tasa con
que los núcleos de una sustancia se desintegran es proporcional a la cantidad de

Mg. Julián AndrésZúñiga

UNIVERSIDAD DEL CAUCA
FIC Y FIET
Modelos Matemáticos que Responden ED de Primer Orden
Lecturas de Clase

substancia que queda en el tiempo, es decir  

A  t 
, de ahí: Ecuación diferencial
A t 

d A
 dt  k A con k  0
 k  t t 0 
cuya solución: A  t   A0 e
.

 A t   A
0
0

II. Modelo de Verhulst (matemático y biólogo)
Propuesta: supone que la tasade crecimiento disminuye a medida que aumenta el
tamaño de la población,   a  bP .

a
d P
 dt   a  bP  P con P  b
Ecuación diferencial 
P t   P
0
0

aP0


 a t t
 bP   a  bP0  e  0 
Solución P  t    0

?



si 0  P 
si

P

a
b

, la función P  P  t  es conocida

a
b

como función logística.
Ejercicios
1. El número decélulas de un cultivo
bacteriano crece siguiendo la ley de
crecimiento de Malthus. Si el número de
bacterias se incrementó de 10000 a
10000000 en 4 horas, determine:
a. la tasa de crecimiento relativo de este
cultivo
b. el tiempo que tardan las bacterias en
duplicar sus números.
2. La población de Colombia en los años
1964 y 1973 era de 17484 y 22862 miles
de habitantes respectivamente(según el
DANE). ¿Cuál debería haber sido la
población colombiana en el 2013 de
haber seguido esta población el modelo
de Malthus?

3. Teniendo en cuenta el modelo de
interés compuesto continuo, muestre

 a
c  t   lim Cn  t  , donde Cn  t   A 1  
n 
 n
y n representa los periodos por años

nt

4. Considerando que la semivida (  ) o
periodo de semidesintegración deuna
substancia radioactiva es el tiempo
necesario para que se desintegre la mitad
de los núcleo de una nuestra inicial de la
substancia; muestre que  

Ln2
.
k

5. Según cierta teoría cosmológica en el
instante que inicial del Universo había
igual cantidad de átomos de uranio 238

Mg. Julián Andrés Zúñiga

UNIVERSIDAD DEL CAUCA
FIC Y FIET
Modelos Matemáticos que Responden ED dePrimer Orden
Lecturas de Clase

( U 238 ), que de uranio 235 ( U 235 ). Se
estima que en la actualidad la relación de
U 238 al U 235 es de 6197 a 45. Estime la
edad del Universo, teniendo en cuenta
que la semivida del U 238 es de 4.51 mil
millones de años mientras que el U 235
tiene una semivida de 0.707 mil millones
de años.
6. Según datos de National Geographic
Society la...