Ecuaciones

Lista 1 Matem´ticas V a
Unidad 1: Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

1 Soluciones de ED, con valores de frontera y valores iniciales Dificultad: 1. Muestre que cada una de las funciones definidas en la Columna I, con una excepci´n, es una o soluci´n de la correspondiente ecuaci´n diferencial en la Columna II, sujeta a las condiciones o o dadas, si hay alguna. COLUMNA I COLUMNA II y = e−x+ x − 1 y = Ae5x + Be−2x − 1 ex 2 s = 8 cos 3t + 6 sin 3t. 8x3 − 27y 2 = 0 Y (x, t) = 4 sin(2x − 3t). y = c1 e−2x + c2 ex + c3 e3x y = Ax3 + Bx−4 − x2 3 y + y = x; y(0) = 0. y − 3y − 10y = 6ex d2 s ds = −9s; s = 8, = 18 para t = 0 2 dt dt (y )3 = y; y(0) = 0. 9 ∂ 2Y ∂ 2Y = −4 2 , Y (π, 0) = 0. ∂x2 ∂t

y − 2y − 5y + 6y = 0 x2 y + 2xy − 12y = 2x2

2. Una part´ ıcula se mueve a lo largo del eje xde modo que su velocidad instant´nea est´ dada a a 2 como una funci´n del tiempo t por u = 12 − 3t . Al tiempo t = 1, est´ localizada en x = −5. o a a) b) c) d) Establezca un problema de valor inicial que describa el movimiento. Resuelva el problema en (a). Determine d´nde estar´ la part´ o a ıcula en los tiempos t = 2 y t = 3. Determine los tiempos cuando la part´ ıcula est´ en el origen. a

13. La pendiente de una familia de curvas en cualquier punto (x, y) del plano xy est´ dada por a 4 − 2x. a) Establezca la ecuaci´n diferencial de la familia. o b) Determine una ecuaci´n para aquel miembro particular de la familia que pasa por el o punto (0, 0). 4. Resuelva cada uno de los siguientes problemas de valor inicial o de frontera. dy a) = 4e−t − 2, x(0) = 3. dx d2 y dx b) = 8 − 4t +t2 , x = 1, = −3 cuando t = 0. 2 dx dt √ ds c) = 9 u, s(4) = 16. du d) y = 12x(4 − x), y(0) = 7, y(1) = 0. 2 Ecuaciones separables Dificultad: 1. Resuelva cada uno de los siguientes ejercicios, sujetos a las condiciones donde se den. dy x a) = − ; y = 2 donde x = 1. dx y 2 b) 3x(y + 1)dx + y(x2 + 2)dy = 0. c) 2ydx + e−3x dy = 0. x + xy 2 d) y = ; y(1) = 0. 4y dφ e) r = φ2 + 1. dr π π f) sin2 ydx +cos2 xdy = 0; y0 = , x0 = 4 4 √ √ 2 dx = y 1 + x2 dy. g) x 1 + y (π ) = 2. h) 2y cos xdx + 3 sin xdy = 0; y0 2 i) y = 8xy + 3y. dI j) + 5I = 10; I(0) = 0 dt k) ydx + (x3 y 2 + x3 )dy = 0 2. La pendiente de una familia de curvas en cualquier punto (x, y) est´ dada por a 3x + xy 2 dy = . dx 2y + x2 y Halle la ecuaci´n del miembro de la familia que pasa por el punto (2, 1). o Dificultad: 1. Resuelvacada uno de los siguientes ejercicios:

2

dy (y − 1)(x − 2)(y + 3) = dx (x − 1)(y − 2)(x + 3) dr sin φ + e2r sin φ π b) = ; r = 0 donde φ = r + er cos φ dφ e 2 3 2x2 +3y 2 3 −x2 −2y 2 c) x e dx − y e dy = 0. dU U +1 √ d) =√ ds s + sU a) 3 Transformaci´n de variables o Dificultad: 1. Resuelva cada uno de los siguientes ejercicios: √ a) xy = y − x2 + y 2 ( ) 1 x y dy b) = + dx 2 y x Dificultad:1. Resuelva: √ x2 + y 2 dy a) = dx x dy 2x + 5y b) = dx 2x − y dy 6x2 − 5xy − 2y 2 c) = dx 6x2 − 8xy + y 2 d) y = (x + y)2 √ e) y = 2x + 3y dy 2x + 3y + 1 f) Resuelva la ecuaci´n o = si x = X + h y y = Y + k, donde X, Y son dx 3x − 2y − 5 nuevas variables y h y k son constantes, y luego escoja h y k apropiadamente. g) Resuelva (3x − y − 9)y = (10 − 2x + 2y). h) Resuelva (2x + 2y + 1)dx + (x + y −1)dy = 0 [ [ y y y y] y y] i) Resuelva 2x sin + 2x tan − y cos − y sec2 dx + x cos + x sec2 dy = 0 x x x x x x Dificultad: 1. Resuelva: dy a) = dx dy = b) dx 2. Resuelva √ √ x+y+ x−y √ √ x+y− x−y √ 1+ x−y √ 1− x−y

2y x3 y + + x tan 2 por la transformaci´n y = vx2 . o x y x

3

3. Resuelva

dy 3x5 + 3x2 y 2 = haciendo x = up , y y = v q y escoja las constantes p y q dx 2x3 y − 2y 3apropiadamente.

4. Haciendo y = vxn y escogiendo la constante n apropiedamente, resuelva (2 + 3xy 2 )dx − 4x2 ydy = 0 4 Ecuaciones diferenciales exactas y no exactas Dificultad: 1. Escriba cada ecuaci´n en la forma M dx + N dy = 0, pruebe la exactitud, resuelva aquellas o ecuaciones que son exactas. x−y a) y = x+y b) 2xyy = x2 − y 2 dy x − y cos x c) = dx sin x + y dr r2 sin φ d) = dφ 2r cos φ − 1 −x...