ecuaciones



Problemas con valores en la frontera, problemas con valores iniciales, ecuaciones homogéneas y no homogéneas, reducción de orden , crecimiento y decaimiento



Alumno: Emmanuel Piña Pérez
Emmanuel.pinap@alumnos.sabes.edu.mx
Profesor: José Luis Soto Piña



PROBLEMAS CON VALORES INICIALES
Para una ecuación diferencial lineal, un problema con valores iniciales de n-ésimo orden es:Para un problema como este se busca una función definida en algún intervalo I , que contiene a x0 que satisface la ecuación diferencial y las n condiciones iniciales que se especifican en X0: y(x0)= y0 y´(X0) = yI . . . . (X0) = y n-1.
Ejemplo solución única de un PVI
Se debe comprobar que la función es solución del problema con valores iniciales.

Ahora la ecuación diferencial eslineal: los coeficientes, así como g(x) = 12x, son continuos y a2(x) = 1 en algún intervalo I que contenga a x= 0. Por lo tanto concluimos que la función dada es la única solución en I.
Ejemplo:
La familia de funciones que se proporciona es la solución general de la ecuacion diferencial en el intervalo que se indica. Encuentre un miembro de la familia de que sea una solución del problema convalores iniciales

Buscaremos
Entonces

Asi que:
Por lo tanto nuestra Solución Seria:
PROBLEMA CON VALORES EN LA FRONTERA
Otro tipo de problema consiste en resolver una ecuación diferencial lineal de orden dos o mayor en que la variable de pendiente y o sus derivadas se especifican en diferentes puntos un problema tal como:



Se llama problema con valores en la frontera (PVF). Losvalores prescritos se llaman condiciones en la frontera. Una solución del problema anterior es una función que satisface la ecuación diferencial en algún intervalo I, que contiene a (a y b), cuya grafica pasa por los puntos (a, y₀) y (b, y₁).


En una ecuación diferencial de segundo orden, otros pares de condiciones en la frontera podrían ser:



Donde y₀ y y₁ , denotan constantesarbitrarias. Estos pares de condiciones son solo casos especiales de las condiciones en la frontera generales.


Ejemplo:
La familia de dos parámetros dados es una solución de la ecuacion diferencial que se indica en el intervalo Determine si se puede encontrar un miembro de la familia que satisfaga las condiciones en la frontera.




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Solución:
a) Tenemos En esta no es posible.
b) TenemosEn esta no es posible
c) Tenemos , Asi que es arbitraria y la solución
d) Tenemos Así que c y la solución









ECUACIONES HOMOGÉNEAS
Una ecuación diferencial lineal de n-ésimo orden de la forma


Se dice que es homogénea. Mientras que una ecuación de la forma:

Igualada a g(x), se dice que no es homogénea.
Por ejemplo:
Esta es una ecuación lineal homogéneade segundo orden.
Esta es una ecuación Lineal no homogénea de tercer orden.
La palabra homogénea en este contexto no se refiere a los coeficientes que son funciones homogéneas.
Ejemplo:
Determine si el conjunto de funciones es linealmente independiente en el intervalo

Solución:
Desde
OPERADORES DIFERENCIALES
El símbolo D se llama operador diferencial por que convierte una funciónderivable en otra función.
Por ejemplo:


Las derivadas de orden superior se expresan en términos de D de manera natural.

Donde y representa una función suficientemente derivable, las expresiones polinomiales en las que interviene D, tales D + 3 , , son también operadores diferenciales.
En general se define un operador diferencial de n-ésimo orden u operador polinomial como.

El operadordiferencial tiene una propiedad de linealidad, es decir, operando sobre una combinación lineal de dos funciones de derivables es lo mismo que la combinación lineal de operando en cada una de las funciones. Simbólicamente se expresa como:

Donde son constantes, como resultado se dice que el operador diferencial de n-ésimo orden es un operador lineal.
PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN
La suma o...