Ecuaciones

Solución Tarea 2
I. A. f(x,y)=-xye^((-(x^2+y^2 ))/2)
Derivamos e igualamos a cero para hallar puntos críticos.
f_x=y(x^2-1) e^((-(x^2+y^2 ))/2)=0
f_y=x(y^2-1) e^((-(x^2+y^2))/2)=0
Puntos críticos: (0,0),(1,1),(-1,1),(1,-1),(-1,1)
B. La matriz hessiana es
H(x,y)=e^((-(x^2+y^2 ))/2) (■(〖-x〗^3 y+3xy&y^2+x^2-x^2 y^2-1@y^2+x^2-x^2 y^2-1&-y^3 x+3xy))Evaluamos la matriz en cada uno de los puntos críticos y calculamos los menores
H(0,0)=(■(0&-1@-1&0)), H(1,1)=H(-1,-1)=e^(-1) (■(2&0@0&2)),
H(-1,1)=H(1,-1)=e^(-1)(■(-2&0@0&-2))
H(0,0) es indefinida, luego (0,0) es un punto de silla. H(1,1) y H(-1,-1) son definidas positivas entonces corresponden a mínimos locales. H(-1,1) y H(1,-1) son definidasnegativas luego corresponden a máximos locales.

II. g(x,y)=20x+40y-x^2+4xy-2y^2
A. Para determinar si g es convexa o cóncava estudiamos su matriz hessiana:
H(x,y)=(■(-2&4@4&-4))Como H es indefinida, g no es cóncava ni convexa.
B. Para determinar si g es cuasiconvexa o cuasicóncava estudiamos su matriz hessiana orlada:B(x,y)=2(■(0&10-x+2y&20+2x-2y@10-x+2y&-1&2@20+2x-2y&2&-2))
El determinante de esta matriz (|B_2 |) es 2(700+20x-x^2+40y+4xy-2y^2)
Notamos que B_2 (0,0)=700>0, luego g no es cuasiconvexa, y que
B_2(0,100)=-1953000, luego ln⁡(f(x)) no es cuasiconvexa. Por lo tanto, f no puede ser convexa.
V. f(x)=K[∑_(i=1)^n▒〖δ_i x_i^(-ρ) 〗]^(-v/ρ), con ρ>-1,ρ≠0,δ_i>0,K>0,v>0.ln⁡(f(x))=ln⁡(K)-(v/ρ)ln⁡[∑_(i=1)^n▒〖δ_i x_i^(-ρ) 〗]
La segunda derivada de δ_i x_i^(-ρ) es ρ(ρ+1)δ_i x_i^(-ρ-2). Si ρ(ρ+1)>0, δ_i x_i^(-ρ) es una función convexa, y si ρ(ρ+1)0, δ_i x_i^(-ρ) es cuasiconvexa, y porteorema de composición, tanto ln⁡(f(x)) como f(x) son cuasicóncavas.
Si el grado de homogeneidad es menor o igual a 1, por el teorema IV. B., la función es cóncava.