Ecuaciones

Facultad de Contaduría y Administración. UNAM

Teoría de ecuaciones

Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

MATEMÁTICAS BÁSICAS TEORÍA DE ECUACIONES
DEFINICIÓN DE POLINOMIO Y DE ECUACIÓN
Una variable es una cantidad que se simboliza por una literal y que puede tomar diferentes valores. Una constante es una magnitud que presenta siempre un mismo valor. Un monomio es una expresión deltipo: ax n , donde número natural.

a

es un número real,

x

es la variable y

n

un

Existen monomios de más de una variable. Por ejemplo: ax y x, y, z son las variables y n, p, q son los exponentes naturales.

n

p

z q donde a es un coeficiente real,

Un binomio es la expresión que se forma al sumar algebraicamente dos monomios. Por ejemplo:

4x + 2 y

Un trinomio es laexpresión que se forma al sumar algebraicamente tres monomios. Por ejemplo:

5 x 3 y 2 + 3z 4 w 2 − 6ab 5
Un polinomio es la suma algebraica de dos o más monomios. Si está en términos de la variable independiente

x , se denota como una función P(x) y en su forma general es una expresión de la forma:
P( x ) = an x n + an−1 x n−1 + an−2 x n−2 + an−3 x n−3 + an−4 x n−4 + ⋅ ⋅ ⋅ + a1 x + aoEl primer término del polinomio como término independiente. Una ecuación en
3 2

an x n se conoce como el término dominante y al término a 0 se conoce

x

es un polinomio igualado a cero, cuyo grado es

n , es decir, P(x) = 0 . Por ejemplo:

6 x − 4 x + 7 x + 10 = 0
Una raíz es un valor que satisface la ecuación P x = 0 . Por su parte se llama conjunto solución de una ecuaciónalgebraica al conjunto de todas las raíces de una ecuación. Algoritmo de la división para polinomios Sean

()

P(x) y Q(x )

dos polinomios con

Si se efectúa la división con:

P( x ) entonces existen dos polinomios únicos c( x ) y r ( x ) tales que cumplen Q( x )

Q( x ) ≠ 0 .

P(x) = Q( x) ⋅ c( x) + r (x)
El polinomio

c( x )

se llama cociente y

r (x )

es el residuo de ladivisión cuyo grado es menor que el de 1

P(x) .

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TEOREMAS NOTABLES
Teorema fundamental del álgebra El teorema fundamental del álgebra enunciado por Federico Gauss en 1799 establece que: “Toda ecuación en

x

de grado

n

tiene

n

raíces complejas”

Esto significa quetodo polinomio en x con coeficientes reales o complejos tiene por lo menos un factor de la forma x − a , donde a es un número complejo. Teorema del residuo Si se tiene un polinomio Demostración: Si se divide

P(x) y se divide entre x − a
se tiene:

el residuo de la división es

P(a ) .

P(x) entre x − a

P(x) = Q(x)(x − a) + R
donde Q x es el cociente y R es el residuo. Si ahora seevalúa x = a se obtiene:

()

P(a ) = Q(a)(a − a ) + R = 0 + R = R De donde P(a ) es el residuo.
Ejemplo. Sea el polinomio:

P( x ) = 2 x 3 − 5 x 2 + 4 x − 9 , comprobar el teorema de residuo si se divide entre x −1 .

Solución. Dividiendo el polinomio entre

x −1 :

2 x 2 − 3x + 1 x −1 2x 3 − 5x 2 + 4x − 9 − 2x3 + 2x 2 − 3x 2 + 4 x − 9 3x 2 − 3 x x −9 − x +1 −8
ahora, evaluando
3P(1) = 2(1) − 5(1) + 4(1) − 9 = 2 − 5 + 4 − 9 = −8
2

x = 1:

Los resultados son iguales, lo que comprueba el teorema del residuo.

2

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Teorema del factor En un polinomio Demostración: Si

P(x) , x − a

es un factor si y solo si

a

es una raíz de la ecuación

P(x) =0 .

P(x) entonces se cumple que: P(x) = Q(x )(x − a ) porque P(a) = Q(a)(a − a) = 0 por lo tanto, a es raíz de la ecuación P( x) = 0 . Pero si a es raíz de la ecuación P( x) = 0 , esto implica que P(a) = 0
x−a
es factor de

P( x) = Q( x)( x − a) + P(a) = Q( x)(x − a) + 0 = Q( x)( x − a) por lo tanto x − a es factor de P( x) .
Ejemplo Determinar si

Si se aplica el teorema del residuo...