ecuaciones

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UNIVERSIDAD CATOLICA DE LA SANTISIMA CONCEPCION
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FACULTAD DE INGENIERIA

Departamento de Matem´ tica y F´sica Aplicadas
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CERTAMEN N2(PAUTA) (MAT222E)
Ecuaciones DiferencialesOrdinarias
1. Problema (25 puntos): Determine la solucion general de las siguientes ecua´
ciones diferenciales:
(a) y (4) − y = 0.
(b) y ′′′ + y ′ = tan x,

0 < x < π/2.

(c) x3 y ′′′ + x2 y ′′− 2xy ′ + 2y = 2x4 ,

x > 0.

2. Problema (20 puntos): Un sistema masa-resorte con masa de 1 g acoplada
tiene una constante de resorte igual a 50 g/s2 y un coeficiente de amortiguamiento de 2 g/s. En el tiempo t = 0 , se empuja la masa hacia abajo
23
2
cms y se suelta con una velocidad de 28 13 cms/s hacia abajo. Una
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fuerza de 41 cos 2t dinas actua hacia abajo sobre la masa para eltiempo
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t > 0.
(a) Determine el modelo matem´ tico que describe el desplazamiento.
a
(b) Resuelva el modelo planteado en la parte (a).
3. Problema (15 puntos): Usando la definicion detransformada de Laplace,
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verifique las siguientes propiedades:
(a) L[eat sin(bt)](s) =

b
,
(s − a)2 + b2

s > a.

2π

e−st f (t)dt
(b) L[f (t)] =

0

1 − e−2πs

,

s > 0 , para todafuncion periodica f
´
´

tal que f (t + 2π) = f (t), ∀t > 0.
Pauta de Correccion
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1

Problema 1
a)
y (4) − y = 0
La ecuacion caracteristica asociada a la EDO es:
´
m4 − 1 = 0

(m − 1)(m+ 1)(m2 + 1) = 0
cuyas raices son: m1 = −1 , m2 = 1 , m3 = −i , m4 = i . Por tanto la
solucion general de la EDO es:
´
y(x) = c1 e−x + c2 ex + c3 cos x + c4 sin x.
b) Para resolver la EDO nohomogenea
y ′′′ + y ′ = tan x, 0 < x < π/2.
tenemos:
• Ecuacion Homogenea
´
y ′′′ + y ′ = 0
La ecuacion caracteristica asociada a la EDO es:
´
m3 + m = 0

m(m2 + 1) = 0
cuyas raices son: m1 =0 , m2 = −i , m3 = i . Por tanto la solucion
´
general homogenea es:
yh (x) = c1 + c2 cos x + c3 sin x.
• Ecuacion no Homogenea: Solucion Particular:
´
´
Usando el m´ todo de variacion de...