Ecuaciones

ECUACIONES: Definiciones Preliminares
Igualdad: es una relación donde dos cantidades o expresiones algebraicas tienen el mismo valor.
Ejemplos: 5 = 3 + 2 ; a = b ‐ c; 3x + 7 = 16.

Ecuación: es una igualdad entre dos expresiones algebraicas que es verificada solamente para valores particulares de las variables contenidas en ellas.
Ejemplos: a) 8x + 9 = 25 b) t 2 − 9t +1 = t + 3 c)
x + y =2y − 5 .

Identidad: es una igualdad que se verifica para cualquier valor de las variables. Así tenemos por ejemplo que estas son identidades:
(x + y)2 = x2 + 2xy + y2 Producto notable
Sen2α + Cos 2α = 1 Identidad fundamental de la trigonometría
− 3(2x +1) = −6x − 3 Propiedad Distributiva

Incógnitas: son las variables que aparecen en una ecuación algebraica, cuyo valor desconocemos ygeneralmente se denotan por las últimas letras del alfabeto x, y, z,w, etc.

Ecuaciones.

Miembros de una ecuación: son las dos expresiones algebraicas que forman la ecuación. El primer miembro está al lado izquierdo de la igualdad y el segundo miembro se encuentra al lado derecho. Así la ecuación: 8x + 9 = 25 En esta unidad trataremos estas ecuaciones pero de una variable.
En este caso se dice quex = 2 es la solución o raíz de la ecuación.
Si le damos a la variable x un valor diferente de 2, la igualdad no se cumple.

Clases de Ecuaciones:

• Ecuación Numérica: es una ecuación donde las únicas letras son las variables o incógnitas.
Así tenemos que 8x +9 = 25, y2 − y − 3 =1 son ecuaciones numéricas.

• Ecuación literal: Es una ecuación que además de las incógnitas tiene otrasletras, llamadas parámetros, que representan cantidades conocidas.
Así las ecuaciones: ax2 + bx + c = 0 , ax + dy = c + b
son ecuaciones literales donde los parámetros son a,b, c, d y x es la variable.

Solución o Raíz de una Ecuación:
Son los valores que atribuidos o sustituidos en las variables o incógnitas, producen una igualdad entre los dos miembros de la ecuación. Así para: 8x + 9 = 25 , elvalor de x = 2 hace la ecuación verdadera, es decir, se cumple la igualdad: 8(2) + 9 =16 + 9 = 25.
Resolución de una Ecuación
Es hallar la o las soluciones o raíces que satisfacen la ecuación. A continuación vamos a enunciar las reglas básicas para resolver una ecuación.
Regla 1: Si a los dos miembros de una ecuación se le suma o resta una misma cantidad (positiva o negativa), la igualdad no sealtera.
Regla 2: Si los dos miembros de una ecuación se multiplican o se dividen por una misma cantidad diferente de cero ( positiva o negativa), la igualdad no se altera.
Regla 3: Si los dos miembros de una ecuación se elevan a una misma potencia, la igualdad no se altera.
Regla 4: Si los dos miembros de una ecuación se le extrae una misma raíz, la igualdad no se altera.
Regla 5: Cualquiertérmino de una ecuación se puede pasar de un miembro a otro, cambiándole el signo. Esta regla se llama transposición de términos.
Cambio de Signo en una Ecuación: Los signos de todos los términos de una ecuación
se pueden cambiar sin que la ecuación varíe, pues equivale a multiplicar los dos lados o miembros de la ecuación por (‐1). Así la ecuación: 5x − 3 = 8 es equivalente a: (−1)(5x − 3) =(−1)8 , es decir , la ecuación 5x − 3 = 8 es equivalente a la ecuación −5x + 3 = −8
Tipos de ecuaciones:
Los tipos de ecuaciones de uso más frecuente son:
a) Polinomiales: las cuales pueden ser de una o varias variables.
El grado del polinomio representa el grado de la ecuación, este es el mayor exponente que tiene la incógnita. Por ejemplo:
2x −18 = 0 es de primer grado (x)
x2 − 4x +3 = 0 es desegundo grado (x2 )
y3 + 2y2 − y − 2 = 0 es de tercer grado (y3 )
n4 − 4 = 0 es de cuarto grado (n4 )
b) Racionales: son aquellas que contienen expresiones algebraicas racionales, tales como:
b.1.‐
4
4
2
2
+
−
=
+
−
x
x
x
x ;
b.2.‐ x x
x
x 4 2
5 3
3 2
+ =
−
c) Radicales: son aquellas ecuaciones que tienen la
variable o incógnita dentro de una o más expresiones...