Ecuaciones

Circuitos Eléctricos I

VII

Circuitos de Segundo Orden

Circuitos de Segundo Orden

Objetivos:
o Definir y analizar la respuesta natural de un circuito RLC
o Identificar y reconocer el tipo de respuesta del circuito RLC a través de las
raíces de la ecuación característica de la red
o Definir y analizar la respuesta completa de un circuito de segundo orden
o Discutir la respuesta deun circuito de segundo orden a una función exponencial
y senoidal
Introducción
En este capítulo estudiaremos los circuitos que contiene dos elemento almacenadores
de energía diferentes, como son una bobina y un capacitor y veremos que estos circuitos
son descritos por una ecuación diferencial de segundo orden, también encontraremos la
respuesta natural, forzada y completa de éstos circuitos.Comenzaremos nuestro estudio
con dos ejemplos clásicos, para llegar obtener la ecuación básica del circuito.
7.1

Ecuación del circuito básico de los circuitos de segundo orden

Para comenzar nuestro desarrollo, los dos circuitos básicos que se muestran en la Figura
7.1.1
v(t)
+ vC(t0) i(t)
iL(t0)
is(t)

R

L

(a)

L

C

C
R

vs(t)
(b)
Figura 7.1.1

Para comenzarnuestro análisis vamos a suponer que la energía puede ser almacenada
inicialmente en la bobina y en el capacitor. La ecuación para el circuito RLC paralelo se
obtiene de aplicar LKC al nodo de arriba:
iR + iL+iC = is(t), es decir:

dv (t )
v (t ) 1 t
+ ∫ v ( x ) dx + i L (t 0 ) + C
= i s (t )
t0
dt
R
L

De manera similar, la ecuación para el circuito RLC serie se puede obtener aplicandoLKV a la malla existente:
vR + vC+vL = vs(t), es decir: R i +

1t
di (t )
∫t0 i( x)dx + vC (t 0 ) + L dt = v s (t )
C

Note que la ecuación para el voltaje nodal del circuito RLC paralelo es de la forma que
la de la corriente de malla del circuito RLC serie. Por tanto la solución de esos circuitos
202

C.R. Lindo Carrión

Circuitos Eléctricos I

Circuitos de Segundo Ordendepende de que se resuelva una ecuación. Si ambas ecuaciones anteriores se derivan con
respecto al tiempo, obtenemos:
C

d 2 v(t ) 1 dv(t ) v(t ) di s (t )
+
+
=
, que podemos expresarla como:
R dt
L
dt
dt 2

d 2 v(t )
1 dv(t ) v(t ) 1 di s (t )
+
+
=
y
2
RC dt
LC C dt
dt
L

d 2 i (t )
di (t ) i (t ) dv s (t )
+R
+
=
, que podemos expresarla como:
2
dt
C
dt
dt

d2 i (t ) R di (t ) i (t ) 1 dv s (t )
+
+
=
L dt
LC L dt
dt 2
Como ambos circuitos conducen a una ecuación diferencial de segundo orden con
coeficientes constantes, vamos a concentrar nuestro análisis en este tipo de ecuación.
7.2

Solución a la ecuación diferencial de segundo orden

Vamos a emplear el mismo método que hicimos con los circuitos de primer orden para
obtener lasolución de la ecuación diferencial de segundo orden que resulta del análisis
de los circuitos RLC.
De manera general, en este caso tenemos una ecuación de la forma:
d 2 x(t )
dx(t )
+ a1
+ a 2 x(t ) = f (t )
2
dt
dt
Para f(t) ≠ 0 vamos a tener dos respuestas: la respuesta forzada xf(t) y la respuesta
natural xn(t), entonces la solución completa de la ecuación original es:
x(t) = xf(t) +xn(t)
Si, por el momento nos limitamos a una función de forzamiento constante (es decir, f(t)
= A), entonces la respuesta forzada se puede calcular sustituyendo xf(t) = K (donde K es
una constante) en la ecuación diferencial de segundo orden, obtenemos el valor de la
respuesta forzada como sigue:
d 2K
dK
+ a1
+ a 2 K = A , se obtiene K = A/a2 = xf(t), por tanto la solución total será:
2
dtdt
x(t) = A/a2 + xn(t)
Ahora para encontrar la respuesta natural, hacemos la ecuación diferencial de segundo
orden igual cero:

203

C.R. Lindo Carrión

Circuitos Eléctricos I

Circuitos de Segundo Orden

d 2 x(t )
dx(t )
+ a1
+ a 2 x(t ) = 0 , donde a1 y a2 son constantes. Por conveniencia y
2
dt
dt
simplicidad rescribimos la ecuación diferencial de la siguiente forma:
d...