Ecuaciones

ECUACIÓN DE LA RECTA

Concepto. Una recta es una sucesión infinita de puntos, situados en una misma dirección.

Una recta tiene una sola dimensión: la longitud.

Las rectas se nombran mediante dos de sus puntos o por una letra minúscula.

Dos puntos determinan una recta.


Una recta indica una dirección y dos sentidos contrarios.

Clases de recta

a) Secantes


Las rectassecantes se cortan en un punto.
Paralelas



b) Paralelas. Las rectas paralelas no se cortan en ningún punto.

c) Coincidentes

Dos rectas son coincidentes si todos sus puntos son comunes.

d) Perpendiculares


Dos rectas son perpendiculares cuando al cortarse forman cuatro ángulos iguales de 90º.

Pendiente

Cualquier par de punto en el plano determina una rectaúnica. Si y son dos puntos tales que , entonces al mismo
Se llama pendiente de la recta determinada por estos dos puntos. Es común llamar a , incremento en y a incremento en x. La pendiente de una recta es, entonces,

Ejemplo:
En la figura comparemos las graficas de las rectas con pendiente positiva, negativa, cero e indefinida. En la figura34(a)) vemos que una recta con unapendiente positiva (m>o) crece a medida que x aumenta. En la figura 34(b)) vemos que una recta con pendiente negativa (m = 0) decrece a medida que x aumenta. Una recta con pendiente cero (m = 0) es horizontal (véase en la figura 34) (C)

Si son dos puntos en una recta vertical, entonces, y entonces por tanto la pendiente de esta recta es indefinida (véase en la (d))
En general puestoque:
No importa a cuál de los dos puntos se llama y a cuál se llame en (6)







Cualquier par de puntos distintos en una recta determinará la misma pendiente. Para probar estos, considere los triángulos semejantes , mostrados en la figura:



Puesto que sabemos que razones de los lados correspondientes son iguales, tenemos:

Por tanto, la pendiente de la rectaes independiente de la escogencia de punto en la recta. A pesar que este argumento se baso en la colocación de sobre la recta, la discusión sigue siendo válida para cualquier colocación de estos 4 puntos.

Halle la pendiente de la recta que pasa por los puntos (2,6) y (3,-4)
Grafique la recta.
Solución: sean (-2,6) el punto
La pendiente de la recta a través de estos puntos es.Por lo tanto, la pendiente es -2 y la recta que pasa por se muestra en la figura:

Note el ejemplo 1 que si hubiéramos asignado a (-2,6), entonces la ecuación (6) habrían dado la misma pendiente

Grafique la recta que pasa por el para de punto dado y determine su pendiente.(a) (-4,-1) y (5,2)
(b) (-3,3) y (4,-4)
(c) (-5, 2) y (-5,-4)

Solución: en la figura se marcan los puntos y se grafican las rectas. Las pendiente se calculan utilizando (6)




(a)

(b)

(c) puesto que (-5,2) y (-5,-4) determinan una recata vertical la pendiente es indefinida.
Ecuación de la recta.
Nombres de las distintas formas de expresar la ecuación de una recta.Supongamos que tenemos la ecuación de una recta y haciendo las modificaciones oportunas, la ponemos en esta forma: y = mx + n. Esta forma se llama forma explicita. En este caso m es la pendiente de la recta.
Si la ponemos en esta forma: . Decimos que esta en forma de punto-pendiente. En este caso m es la pendiente de la recta y las coordenadas de un punto cualquiera de la recta.
Si la ponemos enesta forma: x/a + y/b = 1 decimos que está en la forma canónica o segmentaría. En este caso, a es la distancia desde el origen de coordenadas al punto donde la recta corta al eje X y b es la es la distancia desde el origen de coordenadas al punto donde la recta corta al eje Y.
Si la poneos en está forma ax + by + c = 0, decimos que está en forma general. En este caso el vector (a, b) se llama...