ecuaciones

GUIA 4

Algunas aplicaciones de la ecuaciones
diferenciales de primer orden
1.

Procesos de crecimiento y declinaci´n.
o
Primero estudiaremos el modelo

dx
= a x,
dt
con a constante. La cantidad x puede ser
El tama˜o de una poblaci´n que var´ seg´n una ley de Malthus
n
o
ıa
u
dx
= a x.
dt
La cantidad de una sustancia radioactiva, como uranio, que se desintegra espont´aneamente seg´n la ley
u
dx
= a x,
(a < 0).
dt
La cantidad de dinero en una cuenta sobre la cual se paga inter´s compuesto continuo
e
a una tasa anual de inter´s a (En este caso el tiempo t se mide en a˜os).
e
n
Ejercicios
1. La poblaci´n de Cali era de 200 mil habitantes en 1,950 (t = 0) y de 1 mill´n en 1,985
o
o
(t = 35). Si en cada instante crece con rapidez proporcional a lapoblaci´n existente en
o
ese instante, ¿ en qu´ a˜o la poblaci´n de Cali exceder´ los 5 millones de habitantes?
e n
o
a
Respuesta: En el a˜o 2020.
n
2. Una poblaci´n duplica su tama˜o en 10 a˜os y la triplica en 20. ¿ Puede seguir una
o
n
n
ley de Malthus de crecimiento? Justifique su respuesta.
3. Seg´n una teor´ cosmol´gica, en el instante inicial del Universo hab´ igual cantidad
u
ıa
oıa
de ´tomos de uranio 235 (U 235 ) y de uranio 238 (U 238 ). Se estima que en la actualidad
a
la relaci´n de U 238 y U 235 en una muestra es de 6197 a 45. La vida media de una
o
sustancia radioactiva es el tiempo necesario para que una cantidad de la sustancia se
reduzca a la mitad. Si la vida media del U 238 se estima en 4,51 mil millones de a˜os y
n
235
la del U
en 0,707 mil millonesde a˜os, estime la edad del Universo. Respuesta: La
n
edad el universo es 5,96 mil millones de a˜os.
n

1

4. Sup´ngase que una isla es colonizada por inmigraci´n desde el continente. Sup´ngase
o
o
o
que hay un n´mero constante S de especies en el continente mientras que en la isla
u
existen N (t) especies en el tiempo t . La rapidez con la cual nuevas especies inmigran
a la isla yla colonizan es proporcional al n´mero S − N (t) de especies del continente
u
que no se han establecido en la isla, con constante de proporcionalidad h. Adem´s, en
a
la isla las especies se extinguen con una rapidez proporcional al n´mero de especies de
u
la isla, con constante de proporcionalidad k. Escriba la ley de variaci´n de N . Calcule
o
l´ t→∞ N (t).
ım

2.

El modelo deVerhulst

Tal como se discuti´ en la Gu´ 1, la variable fundamental en la descripci´n del tama˜o
o
ıa
o
n
1 dx
x = x(t) de una poblaci´n en el tiempo t es la tasa relativa de crecimiento x(t) dt (t). El
o
modelo m´s sencillo es el modelo de Malthus que supone una tasa de crecimiento constante.
a
En esta secci´n consideraremos un modelo postulado por el matem´tico Belga Pierre Fran¸ois
o
ac
Verhulst (1804–1849), que supone una tasa de creciemiento que disminuye con el aumento
de la poblaci´n de acuerdo con la regla
o
1 dx
(t) = a − b x(t),
x(t) dt

a, b constantes positivas,

que conduce a la ecuaci´n diferencial
o
dx
= x (a − b x),
(1)
dt
la cual puede verse como una correcci´n del modelo de Malthus tratado en la Gu´ 1 en
o
ıa
el siguiente sentido. Para valorespeque˜os de x(t), b x2 (t) es despreciable comparado con
n
a x(t), as´ que dx ∼ a x(t); para x(t) grande, b x2 (t) no es despreciable y la disminuci´n
ı
o
dt =
2
−b x (t) en la tasa de crecimiento debe considerarse.
Si bien podemos resolver (1) mediante separaci´n de variables, el punto es que podemos
o
obtener informaci´n importante de las soluciones x = x(t) de (1) sin conocerlasexpl´
o
ıcitamente.
Primero que todo observamos que la funci´n f (t, x) = x (a − b x), definida para todo
o
t ∈ R y todo x ∈ R, satisface las hip´tesis C1 y C2 del Teorema Fundamental (ver Gu´ 1),
o
ıa
por lo que para cada t0 ∈ R y x0 ∈ R existen un intervalo abierto I ⊂ R que contiene a t0 ,
y una funci´n x = x(t) definida en I, tales que x = x(t) es la unica soluci´n de (1) definida
o
´...