Ecuaciones

Chapter 1
Introducción
Si una función definida en algún intervalo I se sustituye en una ecuación diferencial y la reduce a una identidad, entonces se dice que esa función es una solución
de la ecuación en ese intervalo. Una solución en la cual la variable dependiente se
expresamente solamente en términos de la variable independiente y de constantes
se dice que es una solución explícita, encaso contrario se tiene una solución ímplicita. La solución general de una ecuación diferencial de grado n contiene n
parámetros en su solución, lo cual significa que una ecuación diferencial puede
tener un número infinito de soluciones que corresponden al número infinito de
valores de los parámetros. Una solución de una ecuación diferencial que no tiene
tales parámetros se llama una soluciónparticular.
En los siguientes problemas se comprueba que la función indicada sea una solución de la ecuación diferencial dada. Cuando
aparecen, los simbolos c1 y c2 indican constantes.
Problema 1.
2y 0 + y = 0
Donde:
x

y = e− 2
Solución:
Derivando:

1 x
y 0 = − e− 2
2
Sustituyendo en la ecuación:
1

2

CHAPTER 1. INTRODUCCIÓN

¶
µ
x
1 −x
2
+ e− 2 = 0
2 − e
2
x

x−e− 2 + e− 2 = 0
0=0
∴ y = e− 2 si es solución.
Problema 2.
x

dy
− 2y = e3x
dx

Donde:
y = e3x + 10e2x
Solución:
Derivando:
y 0 = 3e3x + 20e2x
Sustituyendo:
3e3x + 20e2x − 2(e3x + 10e2x ) = e3x
3e3x + 20e2x − 2e3x − 20e2x = e3x
e3x = e3x
como queda una identidad entonces y = e3x + 10e2x si es solución de la
ecuacón diferencial.
Problema 3.

dy
+ 20y = 24
dx

Donde:
y=

6 6−20t
− e
5 5

3
Solución:
Derivando:
y 0 = 24e−20t
Sustituyendo en la ecuación diferencial:
6 6
24e−20t + 20( − e−20t ) = 24
5 5
24e−20t + 24 − 24e−20t = 24
24 = 24
∴y=

6
5

− 6 e−20t si es solución de la ecuación diferencial.
5

Problema 4.
y 0 = 25 + y 2
Donde:
y = 5 tan 5x
Solución:
Derivando:
y 0 = 25 sec2 5x
Sustituyendo:
25 sec2 5x = 25 + 25 tan2 5x
25 sec25x = 25(1 + tan2 5x)
25 sec2 5x = 25 sec2 5x
∴ y = 5 tan 5x si es solución de la ecuación diferencial.

4

CHAPTER 1. INTRODUCCIÓN
Problema 5.
dy
=
dx
Donde:

r

y
x

√
y = ( x + c1 )2 , x > 0, c1 > 0
Solución:
Derivando:
√
1
y0 = 2( x + c1 )( √ )
2 x
√
x + c1
y = √
x
0

c1
y0 = 1 + √
x
La ecuación diferencial puede escribirse de la siguiente forma
r
√
y
dyy
=
=√
dx
x
x
y como:

p√
√
√
y
( x + c1 )2
x + c1
c1
√ =
√
= √
=1+ √
x
x
x
x

y como ya se había encontrado:
c1
y0 = 1 + √
x
Entonces:
c1
c1
1+ √ =1+ √
x
x
√
∴ y = ( x + c1 )2 si es solución.
Problema 6.
y 0 + y = senx

5
Donde:
1
1
y = senx − cos x + 10e−x
2
2
Solución:
Derivando:
y0 =

1
1
cos x + senx − 10e−x
2
2

Sustituyendo:
1
1
11
cos x + senx − 10e−x + senx − cos x + 10e−x
2
2
2
2
senx = senx
∴ y = 1 sin x − 1 cos x + 10e−x si es solución.
2
2
Problema 7.
2xydx + (x2 + 2y)dy = 0
Donde:
x2 y + y 2 = c1
Solución:
Utilizando derivación ímplicita:
d 2
(x y + y 2 = c1 )
dx
2xy + x2

dy
dy
+ 2y
=0
dx
dx

2xydx + (x2 + 2y)dy = 0
la cual es la ecuación original, ∴ x2 y + y 2 = c1 es una soluciónímplicita
de la ecuación diferencial.

6

CHAPTER 1. INTRODUCCIÓN
Problema 8.
x2 dy + 2xydx = 0
Donde:
y=−

1
x2

Solución:
La ecuación puede escribirse como:
x2

dy
+ 2xy = 0
dx

Derivando la posible solución:
y=

2
x3

Sustituyendo:
2x2 x−3 − 2xx−2 = 0
2x−1 − 2x−1 = 0
0=0
1
Se obtiene una identidad, ∴ y = − x2 si es solución de la ecuación.

Problema 9.
Donde:p
y0 = 2 | y |
y=x|x|

Solución:
El valor absoluto se define como:
½
a
si a ≥ 0
|a| =
−a si a < 0
Por lo tanto, la función se escribe como:

7

y = x | x |=

½

x2
si x ≥ 0
2
−x si x < 0

La derivada es:
½

2x
si x ≥ 0
−2x si x < 0
√
p
Por lo tanto si x > 0, |y| = x2 = x
Y sustituyendo en la ecuación:
√
2x = 2 x2 = 2x
p
Ahora bien, si x < 0, |y| = −x y...