ecuaciones

Capítulo 6.- ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCOGNITA
OBJETIVOS INSTRUCTIVOS
Que el alumno:
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Se familiarice con los diversos tipos de ecuaciones de segundo grado.
Comprenda porqué y para qué se clasifican las ecuaciones de segundo grado.
Ejercite la demostración de los diversos métodos deductivos para la resolución
de ecuaciones de segundo grado.
Estudie laspropiedades de las raíces de una ecuación de segundo grado, sus
demostraciones y sus aplicaciones más destacables.
Estudie la generalización de la solución de las ecuaciones de segundo grado a las
ecuaciones bicuadradas con una incógnita.

EL MODELO COMPLETO GENERAL
Si una ecuación puede expresarse en la forma ax2 + bx + c = 0, recibe el nombre de ecuación de
segundo grado con una incógnita, en suforma completa general.
DEMOSTRACION DEDUCTIVA DE LA SOLUCION
Para despejar la incógnita x desde este modelo, son necesarios varios artificios algebraicos que
se explican seguidamente:
1º) Se pasa c al segundo miembro: ax2 + bx = -c;
2º) Se multiplican ambos miembros por 4a: 4a2x2 + 4abx = -4ac;
3º) Se suma b2 en ambos miembros: 4a2x2 + 4abx + b2 = b2 - 4ac;
4º) El primer miembro de la últimaigualdad es un trinomio cuadrado perfecto, por lo que es válido
escribir:
(2ax + b)2 = b2 - 4ac
5º) Extrayendo raíz cuadrada en ambos miembros:
2ax + b = ± b2 - 4ac 1
6º) Y despejando x, resulta:

x1,2 =

- b ± b2 - 4ac
2a
51

(1)

Puede observarse que según se tome para el radical signo positivo o negativo, la solución tiene
dos raíces (simbolizadas con x1 y x2 ).
La igualdad(1) se conoce como Fórmula de Bhaskara, en honor a su descubridor.
FORMAS PARTICULARES DE LA ECUACION DE SEGUNDO GRADO
La ecuación ax2+bx+c=0 tiene tres formas particulares:
1) Si el coeficiente del término cuadrático, a, vale 1 (uno),
la ecuación toma la forma
x2 + bx + c = 0,
llamada completa reducida y la solución es
x1,2 =

- b ± b2 - 4c
2
2

o su equivalente

b
b
x1,2 = - ±  - c
2
2

También merecen ser analizadas las llamadas formas incompletas.
1) Forma incompleta sin término lineal: ax2 + c = 0
Si se despeja x haciendo pasaje de términos, se obtiene

c
x = ± - , que es una forma abreviada de la
a

fórmula de Bhaskara.
2) Forma incompleta sin término independiente: ax2 + bx = 0
Para despejar x se sigue otro camino; sacando factor común:
x.(ax +b)= 0.
El producto entre el monomio "x" y el binomio "ax + b" sólo puede ser nulo cuando alguno de esos
factores sea cero; en consecuencia:
x1= 0 es siempre una raíz de la solución.
La otra raíz se obtiene de hacer ax2+ b = 0, o sea x 2 = -

b
.
a

PROPIEDADES DE LAS RAICES DE UNA ECUACION COMPLETA GENERAL
Propiedad 1:
Si a la ecuación ax2 + bx + c = 0 se la divide por a (recordar que a≠ 0 ), se obtiene
52

b
c
x+ =0 .
a
a
b
Haciendo = p y
a
2
x +

c
= q , resulta la ecuación
a
2

x2 + px + q = 0 , que por tener forma completa reducida se resuelve con x = -

p
 p
±   -q
2
2

y sus raíces son:
2

2

p
p  p
 p
x1 = - +   - q y x 2 = - -   - q
2
2
2
2
Si se suman estas raíces, se obtiene:
2

2

p
p  p
p
 p
x1 + x2 = - +   - q - -   - q = - 2 = - p
2
2
2
2
2
b
.
a
Este resultado se enuncia en forma de propiedad como sigue:

O bién: x1 + x 2 = -

"La suma de las raíces de una ecuación de segundo grado completa general, es igual al opuesto
del cociente entre los coeficientes de sus términos lineal y cuadrático, en ese orden".
Propiedad 2:
Si se multiplican las raíces x1 y x2, seobtiene:
2
2
 p
 

- +  p  - q  .- p -  p  - q 
 
 
x1 . x 2 = 
  2

2
2
2

 


El segundo miembro de esta expresión es el producto de dos binomios conjugados, que se puede
escribir como una diferencia de cuadrados, así:
2

p
x1 . x 2 = (- )
2

2

 p 2  p2 p2
- ( ) -q =
- +q= q
 2

4 4



c
.
a
Entonces, (propiedad 2):...