ecuaciones

1
Universidad del Atl´ntico
a
Facultad de Ciencias B´sicas
a
Ecuaciones Diferenciales
TALLER de Transformada de Laplace
∞ −x p
e x dx.
0

1. Funci´n Gamma: Γ(p + 1) =
o

Demuestre losiguiente:

a) para p > 0, Γ(p + 1) = pΓ(p);
b) Γ(1) = 1;
c) si n es un entero positivo, Γ(n + 1) = n!;
d ) p(p + 1)(p + 2)...(p + n − 1) =

Γ(p + n)
;
Γ(p)

e) para p > −1,

∞

e−st tpdt =

p

L{t } =
0

Γ(p + 1)
.
sp+1

2. Halle la transformada de Laplace indicada:
a) L{t1/2 };
b) L

sin t
;
t

c) L eat f (t − a)U(t − a) ;
t

eaτ f (τ )dτ .

d) L
0

3.Demuestre que
L

f (t)
t

4. Use el ejercicio anterior para encontrar
a) L

e−3t − 1
;
t

b) L

1 − cos 2t
;
t

c) L−1
d ) L−1

(s2

2s
;
− 1)2

(s2

s
+ 1)3

.

5.Eval´e usando teoremas fundamentales
u
a) L−1 tan−1

1
s−2

;

∞

F (u) du.

=
s

2

b) L

sinh t
;
t

c) L−1

s2 (s2

1
;
+ k2)

s2
.
(s2 + 4)2

d ) L−1

6.Definimos la Funci´n de Error y la Funci´n de Error Complementaria por
o
o
2
erf(x) := √
π
Dado que

2
√
π

∞ −t2
e dt
0

x

2

e−t dt,
0

2
erfc(x) := √
π

∞

2

e−t dt.
x= 1, tenemos que erf(x) + erfc(x) = 1.

a) Demuestre que
√
1
erf( t) = √
π

t
0

e−τ
√ dτ.
τ

b) Use el Teorema de Convoluci´n y el resultado del primer ejercicio de este taller
opara demostrar que
√
1
.
L{erf( t)} = √
s s+1
c) Use el ejercicio previo para demostrar que
√
1
1
1− √
L{erfc( t)} =
.
s
s+1
7. [Transformada de Derivadas Parciales] Se define latransformada de Laplace de la
funci´n de dos variables u(x, t) respecto a t usando la expresi´n
o
o
∞

e−st u(x, t) dt = U (x, s)

L{u(x, t)} :=
0

donde x recibe el nombre de un par´metro. Demuestreque
a
a) L

∂u
∂t

b) L

∂ 2u
∂t2

= s2 U (x, s) − su(x, 0) − ut (x, 0);

c) L

∂ 2u
∂x2

=

= sU (x, s) − u(x, 0);

d2 U
.
dx2

8. Usando el ejercicio anterior,...