Ecuaciones

Podemos definir a las ecuaciones como una igualdad entre expresiones algebraicas (sucesión de términos constituidos de números y letras, cada término es separado del otro por un signo "+" ó ""),en la que intervienen una o más letras, llamadas incógnita (cuyo valor hay que averiguar). Las expresiones que están a ambos lados del signo igual son los miembros de la ecuación: primer miembro el de laizquierda, segundo miembro el de la derecha. Se denomina solución de una ecuación a un valor o conjunto de valores de la incógnita (x), para los cuales se verifica la igualdad.
Una ecuación puede tener ninguna, una o varias soluciones. Por ejemplo:
5x – 9 = 1 es una ecuación con una incógnita con una solución, x = 2
x 2 + y 2 + 5 = 0 es una ecuación con dos incógnitas sin solución, pues lasuma de dos cuadrados es un número positivo, a partir del cual no se puede obtener 0 sumándole 5.
2x + 3y = 15 es una ecuación con dos incógnitas que tiene infinitas soluciones, algunas de las cuales son x = 0, y = 5; x = 3, y = 3; x = 30, y = 15.
Dos ecuaciones se llaman equivalentes si tienen las mismas soluciones o ambas carecen de solución.
Así, la ecuación 3x – 7 = x + 1 es equivalente a2x – 8 = 0 porque ambas tienen como solución única x = 4.
Tipos de Ecuaciones
Las ecuaciones con una incógnita suelen tener un número finito de soluciones, mientras que en las ecuaciones con varias incógnitas encontramos infinitas soluciones, las que suelen ser estudiadas cuando forman sistemas de ecuaciones.
Podemos encontrar distintos tipos de ecuaciones con una incógnita: polinómica,racionales, exponenciales, trigonométricas…
Las ecuaciones polinómicas son de la forma P(x) = 0, donde P(x) es un polinomio en x, que al trasponer términos y simplificar adoptan esa expresión.
3x3 5x2 + 3x + 2 = 0 es una ecuación polinómica.
Las ecuaciones polinómicas de primer grado, ax + b = 0, se llama ecuación lineal.
5x + 7 = 3 (es lineal).
(x – 5)2 + 3 = x2 – 1 (No hay que dejarseengañar por las apariencias, esta ecuación también es lineal. Al desarrollar y simplificar se obtiene: –10x + 29 = 0).
Las ecuaciones polinómicas de segundo grado que responden a la estructura: ax2 + bx + c = 0, se las denomina cuadráticas. Son ecuaciones de este tipo: x2  5x + 3 = 0, ó (x – 2)2 + 7x =5 + x. (En este caso, se despeja x de manera que al final queda una ecuación cuadrática, o sea, unpolinomio de grado dos.
Las ecuaciones radicales son aquellas en las que la incógnita está bajo un signo radical, como
Las ecuaciones racionales son ecuaciones en las que aparecen cocientes de polinomios; por ejemplo:

En las ecuaciones exponenciales la incógnita está en un exponente: 2x = 8
En las ecuaciones logarítmica (inversa de las de tipo exponencial) la incógnita se encuentraafectada por el logaritmo, acordarse que la solución debe estar de acuerdo con el dominio de la función logarítmica): log (x + 1) = 10.
En las ecuaciones trigonométricas la incógnita está afectada por alguna función trigonométrica; por ejemplo:
sen (/4 + x) – cos x = 1
Resolución de Ecuaciones
Resolver una ecuación es hallar su solución (soluciones), o podemos llegar a la conclusión que no tienesolución. Para resolver una ecuación, se pasa a otra equivalente cuya apariencia sea más sencilla. Para averiguar el valor de x debe despejarse la letra incógnita. Para ello nos valemos de una propiedad matemática (propiedad uniforme) que nos permite poner un mismo número en ambos miembros de la expresión algebraica, siempre y cuando se mantenga la igualdad.
4x – 7 = 1 (tenemos esta ecuación)
4x –7 + 7 = 1 + 7 (Para que el – 7 se anule le sumamos 7, por eso se dice que un numero que está restando "pasa" sumando).
4x = 1 + 7
4x = 8
4x : 4 = 8 : 4 (Para anular el cuatro que está multiplicando dividimos ambos miembros por 4, por eso se dice que un numero que está multiplicando "pasa" dividiendo)

Tiene una única solución: x = 2.
Sin embargo, hay tipos de ecuaciones para cuya...