ecuaciones

Clase # 2

Ecuaciones de Chapman-Kolmogorov.
Habíamos dicho que Pij(n) es la probabilidad
condicional de que la variable aleatoria X,
comenzando en el estado i se encuentre en el estado j
después de n pasos

Ecuaciones de
Chapman-Kolmogorov

Las ecuaciones de Chapman-Kolmogorov
proporcionan un método para calcular estas
probabilidades de transición de n pasos
2-1

Diseñó: AndrésGómez

M

Pij(n) =

Σ Pik(m) Pkj (n-m )

2-2

Demostración

para toda i,j, n y 0 ≤ m ≤ n

k=0

Sabemos que

Pij(n) = P {Xn = j / X0 = i}

entonces

Pij(n+m) = P {Xn+m = j / X0 = i}

Al ir del estado i al estado j en n pasos el proceso estará
en algún estado k después de exactamente m pasos.
M

Es sólo la probabilidad condicional de que, si se
comienza en el estado i elproceso vaya al estado k
después de m pasos y después al estado j en n-m pasos.

Σ P {X n+m = j , Xn = k / X 0 = i}

Pij(n+m) =

k=0

2-3

2-4

M

Pij(n+m) =

Llamemos A: X n+m = j

Σ P {Xn+m = j , Xn = k / X0 = i}

k=0
M

Llamemos B: Xn = k

=

Σ P {Xn+m = j / Xn = k , X0 = i} * P {Xn = k / X0 = i}
k=0

Llamemos C: X0 = i

No influye por ser Markoviano el procesoSabemos que

M

P (A∩
∩ B) = P(A/B) * P(B)
P (A∩
∩ B /C) = P(A/B /C) * P(B /C)
P ((A∩
∩ B)/C) = P(A/(B ∩ C)) * P(B/C)

=

Σ P {Xn+m = j / Xn = k} * P {Xn = k / X0 = i}

k=0

M

M

=

Σ Pkj(m) Pik (n)

k=0

Sigue
2-5

=

Σ Pik (n) Pkj( m )

k=0

2-6

1

Si hacemos

 p00 ( n)

P(n ) = 
 p ( n)
 M0

Para m=n=1




( n) 
pMM 
p0 M( n)

P (2) = P (1)* P (1) = P2

Si asumimos por inducción
P (n-1) = P n-1

para n=0,1,.....
Para m = 1 y n = r-1

= Pij(n)

P (r-1+1) = P ( r ) = P (r-1) P (1) = Pr -1 P = Pr

P

(n+m)

(n)

(m)

=P P

2-7

La matriz de probabilidades de transición de n
pasos se puede obtener calculando la n-ésima
potencia de la matriz de transición de un paso

Nota: El producto de 2matrices de
Markov siempre es una matriz de Markov

0 ≤ Pij ≤ 1
Es decir

2-8

Cuando n no es muy grande la matriz de transición
de n pasos se puede calcular fácilmente, pero si n es
muy grande los cálculos resultan tediosos y los
errores de redondeo pueden causar inexactitudes

M

Pij = 1
Σ
j=0

2-9

2-10

La matriz de transición de 2 pasos se obtiene :

Ejemplo
Para elproblema de inventarios donde la matriz
de transición de un paso estaba dada por:
P

0.080
0.632
P= 
0.264

0.080

0.184 0.368 0.368 
0 .368
0
0 
0 .368 0.368
0 

0.184 0.368 0.368 

( 2)

0.080
0.632
2
= P =
0.264

0.080

0.184
0.368
0.368
0.184

0.368 0. 368
0
0 
0.368
0 

0.368 0. 368

 0.249
 0.283
P (2) = 
 0.351

0.249

Sigue
2-11

0.286
0.252
0.319
0.286

0.080
0.632

0.264

0.080

0.300
0.233
0.233
0.300

0.184
0.368
0.368
0.184

0.368 0.368
0
0 
0.368
0 

0.368 0.368

0.165
0.233
0.097 

0.165
2-12

2

La matriz de transición de 4 pasos se obtiene :

P ( 4)

0.249
0.283
4
=P =
0.351

0.249

0.286
0.252
0.319
0.2860.300
0.233
0.233
0.300

 0.289
 0.282
P (4) = 
 0.284

 0.289

0.165 
0. 233
0.097 

0.165 

0.286
0.285
0.283
0.286

0.249
0.283

0.351

0.249

0.261
0.268
0.263
0.261

0.286
0.252
0.319
0.286

0.300
0 .233
0 .233
0.300

Ejemplo
Consideremos el estado del tiempo, donde el llover
mañana , depende si llovió o no ayer y hoy.

0.165 0.233 
0.097 

0.165 

0.164
0.166
0.171

0.164

Estado 0

Llovió ayer y hoy

Estado 1

No llovió ayer y llovió hoy

Estado 2

Llovió ayer y no llovió hoy

Estado 3

No llovió ni ayer ni hoy

2-13

Suponga que le preguntan ¿ Cuál es la
probabilidad de que llueva pasado mañana,
dado que llovió ayer y hoy ?

La matriz de transición de un paso es la...