Ecuaciones

Análisis Matemático I

Teoría de ecuaciones
En matemáticas, la teoría de ecuaciones es una rama del álgebra tradicional
Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas, denominadas miembros, en las que aparecen valores conocidos o datos, y desconocidos o incógnitas, relacionados mediante operaciones matemáticas.
Los valores conocidos pueden ser números, coeficientes oconstantes y también variables cuya magnitud se haya establecido como resultado de otras operaciones. Las incógnitas, representadas generalmente por letras, constituyen los valores que se pretende hallar. Por ejemplo, en la ecuación:

La letra X representa la incógnita, mientras que el coeficiente 3 y los números 1 y 9 son constantes conocidas. Resolver una ecuación es encontrar los valores de lasincógnitas que la satisfacen, y se llama solución de una ecuación a cualquier valor de dichas variables que cumpla la igualdad planteada. Para el caso dado, la solución es:

Todo problema matemático puede expresarse en forma de una o más ecuaciones. Sin embargo no todas las ecuaciones tienen solución, ya que es posible que no exista ningún valor de la incógnita que haga cierta una igualdad dada.También puede ocurrir que haya varios o incluso infinitos conjuntos de valores que la satisfagan.
* Ecuación de Primer Grado
Se dice que una ecuación es de primer grado cuando la variable (x) no está elevada a ninguna potencia, es decir, su exponente es 1.

Una ecuación de primer grado tiene la forma canónica:

con a diferente de cero.
Su solución es la más sencilla:
* Resolución deecuaciones de primer grado
Dada la ecuación:

* Transposición:
Primero, se agrupan los monomios que poseen la variable x en uno de los miembros de la ecuación; normalmente, en el izquierdo. Podemos hacerlo teniendo en cuenta que:
Si sumamos (o restamos) un mismo monomio (o número) en los dos miembros, la igualdad no varía.
En términos coloquiales, se suele decir: si el número está sumando(Ej: +9), pasa al otro lado restando (-9); y si el número está restando (Ej: -6), pasa al otro lado sumando (+6)
La ecuación quedará así:

Como puede verse, todos los términos que poseen la variable x han quedado en el primer miembro (a la izquierda del signo igual), y los que no la poseen, por ser sólo constantes numéricas, han quedado en el segundo miembro (a la derecha).
* Simplificación:El siguiente paso es convertir la ecuación en otra equivalente más simple y corta.
Realizamos la simplificación del primer miembro:
Y simplificamos el segundo miembro:
La ecuación simplificada será:

* Despejar:
Ahora es cuando llegamos al objetivo final: que la variable quede en un término de la igualdad.
Si multiplicamos por un mismo monomio (o número) en los dos miembros, laigualdad no varía.
En términos coloquiales: si el número está multiplicando (Ej: ·2), pasa al otro lado dividiendo (en forma fraccionaria) (n/2) (el número pasará sin cambiar su signo).
Si dividimos entre un mismo monomio (o número) en los dos miembros, la igualdad no varía.
En términos coloquiales: si el número está dividiendo (expresado en forma fraccionaria) (Ej: n/5), pasa al otro ladomultiplicando (·5) (el número pasará sin cambiar su signo).

Coloquialmente: en la ecuación, debemos pasar el número 95 al otro lado y, como está multiplicando, pasa dividiendo (sin cambiar de signo):

Se comprueba que el ejercicio está teóricamente resuelto, ya que tenemos una igualdad en la que x equivale al número 525/95. Sin embargo, debemos simplificar.
Resolvemos la fracción (numerador divididoentre denominador) en caso de que el resultado diera exacto; si diera decimal, simplificamos la fracción y ése es el resultado.
En la ecuación, vemos que el resultado de la fracción es decimal (525:95 = 5,5263157894737)
Por tanto, simplificando, la solución es:

* Resolución de ecuaciones de primer grado: problema
Pongamos el siguiente problema: número de canicas que tengo más tres es...