Ecuacuines conicas

Ecuación general cónicas
Todas las cónicas tienen como ecuación general a x 2 + b x y + c y 2 + d x + e y + f = 0
Donde
a x2 + b x y + c y2
es la Forma cuadrática asociada
Forma matricial

[x⎡
⎢a
y] ⎢
b
⎢
⎣2

b⎤
2⎥
⎥
c⎥
⎦

⎡ x⎤
⎢ y ⎥ + [d
⎣ ⎦

⎡ x⎤
e] ⎢ ⎥ + [ f ] = [0]
⎣ y⎦

Siendo :
⎡ x⎤
X = ⎢ ⎥ expresado en la base canónica de R 2
⎣ y⎦
X T = [x

y]

⎡
⎢aA=⎢
b
⎢
⎣2
K = [d
F = [f ]

b⎤
2⎥
⎥
c⎥
⎦
e]

Es decir:

XT A X + K X + F=0
Si la cónica está rotada (no está en posición normal) b ≠ 0 , se pueden rotar los ejes para
que en unnuevo sistema de ejes cartesianos “x-y” se encuentre en posición normal.
Procedimiento:
1. Encontrar Q que diagonalice ortogonalmente a la forma cuadrática (las columnas
b⎤
⎡
⎢a 2⎥
son los vectorespropios de ⎢
⎥)
b
⎢
c⎥
⎣2
⎦
2. Asegurarse que esta transformación sea una rotación (es decir det(Q)=1)
⎡ x⎤
⎡ x⎤
⎡ x´ ⎤
3. Cambiar las coordenadas del vector X = ⎢ ⎥ , haciendo ⎢ ⎥ = Q ⎢ ⎥,
⎣ y⎦
⎣ y⎦
⎣ y´ ⎦
Y encontrar la ecuación en el nuevo sistema “x´-y´” sustituyendo:
XT A X + K X + F=0
(Q X´)T A (Q X´) + K (Q X´) + F = 0
X´T (QT A Q) X´+ (KQ) X´+ F=0

Mg. Sandra SeguraY como Q diagonaliza ortogonalmente a A entonces :
(QT A Q)= D, donde D es la matriz diagonal semejante a A, que tiene a los valores
propios de A en su diagonal principal.
⎡λ 0 ⎤
D=⎢ 1
⎥
⎣ 0λ2 ⎦
4. Se vuelve a escribir la cónica en el nuevo sistema de ejes “x´-y´”
λ 0 x´
x´
[x´ y´ ] ⎡ 1 ⎤ ⎡ ⎤ + [d e] Q ⎡ ⎤ + [ f ] = 0 que no contiene el producto cruzado
⎢ 0 λ ⎥ ⎢ y´ ⎥
⎢ y´ ⎥
⎦
⎣ ⎦2⎦ ⎣
⎣

Teorema de los ejes principales en R2
Sea a x + b x y + c y + d x + e y + f = 0 la ecuación de una cónica,
y sea XT A X = a x 2 + b x y + c y 2 su forma cuadrática asociada,
los ejescoordenados se pueden rotar de modo que la ecuación de la cónica en el
nuevo sistema de coordenadas sea de la forma
2

2

λ1 x´ 2 + λ2 y´ 2 + d´ x´ + e´ y´ + f = 0 , donde λ1 y λ2 son los...