las conicas

Las Cónicas
Concepto:
Se denomina cónica a todas las curvas intersección entre un cono y un plano; si dicho plano no pasa por el vértice, se obtienen las cónicas propiamente dichas.
Una cónica es el lugar geométrico de los puntos del plano (x, y) que satisfacen una ecuación completa de segundo grado:

Ecuación de una cónica se puede escribir en forma matricial como

Donde

Unacónica queda pues definida por una matriz simétrica. En lo que sigue denotaremos por Aii a la matriz adjunta en A del elemento aii i=0, 1,2.
Se clasifican en tres tipos:
o Eclipse
o Parábola
o Hipérbola



o La Parábola

 Definición:
Es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que su distancia de una recta fija ,situada en el plano es siempre igual asu distancia de un punto fijo del plano y que no pertenece a la recta .
El punto fijo se llama foco (F) y la recta fija llamada directriz (d).


 Elementos:
 Foco: Es el punto fijo (F).
 Directriz: Es la recta fija (d).
 Radio Vector: Es el segmento que une u punto cualesquiera de la parábola con el foco (MF).
 Eje: Es la recta que pasa por el foco y es perpendicular a la directriz(AF).
 Vértice: Es el punto medio entre el foco y la directriz (V).
 Cuerda: Es el segmento que une dos puntos cualesquiera (CC’).Si pasa por el foco, se llama: cuerda focal.
 Lado recto o ancho focal: es la cuerda que pasa por el foco (EE’) Y es perpendicular al eje y su longitud es igual a 4p. Consideramos el valor absoluto de 4p pues puede ser positivo o negativo, pero la longitud dellado recto siempre es positiva.
 Parámetro: Es la distancia del segmento que va desde el foco a la directriz. (Es el segmento AF y se representa por 2p. su longitud será igual a 2p y la longitud entre el vértice y el foco es el semiparámetro e igual a p.


 Formas de la Ecuación de la Parábola
Con el advenimiento de la geometría analítica se inició un estudio de las formas geométricasbasado en ecuaciones y coordenadas.
Una parábola cuyo vértice está en el origen y su eje coincide con el eje de las ordenadas, tiene una ecuación de la forma y=ax2 donde el parámetro a especifica la escala de la parábola, incorrectamente descrita como la forma de la parábola, ya que como se dijo antes, todas las parábolas tienen la misma forma. Cuando el parámetro es positivo, la parábola se abre«hacia arriba» y cuando es negativo se abre «hacia abajo».
Si bien, la expresión en forma de ecuación no fue posible hasta el desarrollo de la geometría analítica, la relación geométrica expresada en la ecuación anterior ya estaba presente en los trabajos de Apolonio, y se bosquejará a continuación usando notación moderna.
Tomando nuevamente la definición de parábola como sección de un cono recto deforma paralela a la directriz, sea V un punto en el eje y sea QV perpendicular al eje. (QV corresponde al valor x en la versión analítica y PV al valor y). Considerando la sección circular que pasa por Q y es paralela a la base del cono, obtenemos H, K paralelos a B y C.
Por el teorema de potencia de un punto:
.
Al ser PM paralela a AC, los triángulos HVP, HKA y BCA son semejantes y así:
.Usando nuevamente los paralelismos:
.
Despejando HV y VK para sustituir en la fórmula de QV² resulta en
.
Pero el valor de es una constante pues no depende de la posición de V, por lo que haciendo

Arroja la expresión moderna y=ax².


Parábolas verticales, con ecuaciones de la forma y=ax²+bx+c.
Aplicando una sustitución de coordenadas podemos obtener ahora la ecuación de unaparábola vertical para cualquier posición de su vértice.
La ecuación de una parábola cuyo eje es vertical y su vértice es (u,v) tiene la forma (y-v)=a(x-u)2,
Agrupando los términos y reordenando se obtiene una forma equivalente:
La ecuación de una parábola cuyo eje es vertical es de la forma .
Si la parábola es horizontal, se obtienen ecuaciones similares pero intercambiando y por x y viceversa....