Ecuciones Lineales

UNPA – UART – 29 Carrera: Tecnicatura en Recursos Naturales Renovables. Asignatura: Matemática I Prof. Mag. Isabel Isaya Unidad 1

ECUACIONES LINEALES Una ecuación es una proposición que expresa la igualdad de dos expresiones algebraicas. Involucra una o más variables y el símbolo de igualdad: = . Las siguientes proposiciones son ejemplos de ecuaciones:
2x − 3 = 9 − x

(1) (2) (3) (4)

y2− 5y = 6 − 4y

2x + y = 7
a =s 1− r
En la ecuación (1), la variable es la letra x . En la ecuación (2), la variable es la letra y . En la ecuación (3), hay dos variables, x e y .

Las expresiones separadas por el signo igual se denominan miembros de la ecuación; la expresión a la izquierda del signo igual se llama primer miembro y la expresión a la derecha del signo igual se llama segundomiembro. En cualquier ecuación, las variables no pueden tomar valores para los cuales la expresión no esté definida. Por ejemplo, en la ecuación (4), la variable r debe ser distinta de 1, porque si r fuese igual a 1, la expresión del primer miembro conduce a una división por cero, que no está definida. Las igualdades que sólo contienen constantes y no tienen variables pueden ser proposicionesverdaderas o falsas. Por ejemplo,
3+ 2 = 5 y

3 4 son afirmaciones verdaderas, mientras que: = 15 20

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2+5= 6 y

1 2 son afirmaciones falsas. = 2 3

Una ecuación que se refiere a una variable, por lo general es una proposición válida para algunos valores de lavariable, mientras que es falsa para otros valores de la variable. Por ejemplo, considérese la ecuación:
2x − 3 = x + 2

Si x toma el valor 5, esta ecuación se reduce a:
2 ⋅ (5) − 3 = 5 + 2 o bien 10 − 3 = 5 + 2 , que es una proposición verdadera.

Por otra parte, si x toma el valor 4, se obtiene:
2 ⋅ (4 ) − 3 = 4 + 2 o bien 5 = 6 , que es una proposición falsa.

Un valor de la variable quehaga que la ecuación sea una proposición verdadera, se denomina raíz o solución de la ecuación dada. Se dice que tal valor de la variable satisface la ecuación. Así, por ejemplo, 5 es una raíz o solución de la ecuación 2 x − 3 = x + 2 porque 5 satisface dicha ecuación. De manera similar, − 2 es solución de la ecuación y 2 + 3 y = 6 + 4 y , porque si se reemplaza y por − 2 en la ecuación, se obtiene:(− 2)2 + 3 ⋅ (− 2) = 6 + 4 ⋅ (− 2) o bien
se reemplaza t por 5, se obtiene:

4 − 6 = 6 − 8 que es una proposición verdadera.

En forma análoga, 5 no es una raíz de la ecuación t 2 + 2t = 6 + 3t pues, cuando

(5)2 + 2 ⋅ (5) = 6 + 3 ⋅ (5)
proposición falsa.

que es equivalente a

25 + 10 = 6 + 15

que es una

El proceso de encontrar las raíces o soluciones de una ecuación sedenomina resolver la ecuación. Al llevar a cabo este proceso, por lo general se efectúan ciertas operaciones en la ecuación que la transforman en una nueva ecuación más fácil de resolver. Tales simplificaciones deben realizarse en forma tal que la nueva ecuación tenga las mismas soluciones que la ecuación original. Las dos

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operaciones siguientes producen nuevas ecuaciones, al mismo tiempo que cumplen con el requisito de no alterar las raíces o soluciones de la ecuación. 1. PRINCIPIO DE LA ADICION. Se puede sumar o restar cualquier constante o cualquier expresión que incluya a la variable en ambos miembros de la ecuación)

2. PRINCIPIO DE LA MULTIPLICACION. Sepuede multiplicar o dividir ambos miembros de la ecuación por cualquier constante distinta de cero o cualquier expresión distinta de cero que incluya a la variable.

Ejemplos: Considérese la ecuación: x − 3 = 2 Se suma 3 en ambos miembros de la ecuación, entonces:
x −3+3 = 2+3⇒ x = 5.

(5)

Se concluye que si x satisface la ecuación (5), entonces x = 5 Por lo tanto, 5 es la única raíz...