Edo-Factores Integrantes

ESCUELA POLITECNICA DEL EJÉRCITO
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS
ECUACIONES DEFERENCIALES Y ORDINARIAS

Integrantes: Gabriela Bonilla, Javier Donoso, Alexandra Chasiquiza, Marco Viteri
Fecha:03/10/2012
Tema:

“OTROS FACTORES INTEGRANTES DENTRO DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES Y ORDINARIAS”

Casos de Factores Integrantes:
I.- Factor integrante solo en función de x+y :
ux+y=Ny-MxM-NDonde z=x+y y ux+y=eNy-MxM-Ndz
II.- Factor integrante solo en función de x.y se tiene:
ux.y=Ny-MxM.x-N.y
Donde z=x.y, y u(x.y)=eNy-MxM.x-N.y
III.- Factores de Integración de la forma xmyn.Si existen m y n tales que
∂M∂y-∂N∂x=mMx-nNy,
Entonces u(x,y)=xmyn, es un factor integrante para
Mx,ydx+Nx,ydy=0
IV.- Si existen funciones Px,Q(y) que satisfacen
∂M∂y-∂N∂x=Nx,yPx+Mx,yQyEntonces un factor Integrante para
Mx,ydx+Nx,ydy=0

Es ux,y=eP(x)dxeQ(y)dy

Ejemplos:
1. Resolver 6y-24xy5dx+9x-56x2y4dy=0

Ya que Mx,y=6y-24xy5 Nx,y=9x-56x2y4∂M∂y=6-120xy4, ∂N∂x=9-112xy4 la ecuación no es exacta
Determinamos un factor integrante, pero como no tenemos una función que dependa solo de otra aplicamos el caso III u(x,y)=xmyn, el cual se puede construirsolo si existen constantes m y n tales que

∂M∂y-∂N∂x=mMx-nNy

6-120xy4-9+112xy4=m9x-56x2y4x-n6y-24xy5y
-3-8xy4=9m-56mxy4-6n+24nxy4
Esto nos lleva al sistema
9m-6n=-3
-56m+24n=-8
Cuyasolución es m=1 y n=2. De modo que u(x,y)=xy2 es un factor integrante
Por lo que al resolver la ecuación
xy26y-24xy5dx+xy29x-56x2y4dy=0
Obtenemos la solución
3x2y3-8x3y7=C

2.- Resolver2x2+e-ydx+x3+xydy=0
Mx,y=2x2+e-y y Nx,y=x3+xy
∂M∂y=-e-y, ∂N∂x=3x2+y
Determinamos un factor integrante de la forma Es ux,y=eP(x)dxeQ(y)dy
Es necesario encontrar las funciones Px,Q(y) talesque
∂M∂y-∂N∂x=Nx,yPx-Mx,yQy
Es decir
-e-y-3x2-y=(x3+xy)Px-(2x2+e-y)Q(y)
-e-y-3x2-y=x3Px+xyPx-2x2Qy-e-yQ(y)
-e-y-3x2-y=x3Px-2x2Qy+xyPx-e-yQ(y)
En consecuencia Qy=1, Px=-1x ;un factor...