Factor Integrante

    | FACTOR INTEGRANTELas ecuaciones diferenciales exactas son relativamente inestables, por decirlo de alguna manera, ya que la exactitud exige un balance en la forma de la ecuación diferencial, balance que se destruye bajo pequeñas modificaciones, por ejemplo, la siguiente ecuación diferencial | (1.3) |
es exacta, pues
Sin embargo, al multiplicarla por el factor , la ecuación se transformaen | (1.4) |
la cual no es exacta.Observación: podemos invertir la situación, al multiplicar la ecuación 1.4 por el factor 1/x2 obtenemos la ecuación diferencial 1.3, la cual es exacta. En tales circunstancias, es razonable preguntarse: ¿Hasta qué punto se puede convertir en exacta una ecuación diferencial que no lo es? En otras palabras, si la ecuaciónno es exacta, ¿Bajo qué condiciones sepuede encontrar una función µ(x,y) con la propiedad de que
sea exacta? Cualquier función que actúe de este modo se llama factor integrante. Así, 1/x2 es un factor integrante de la ecuación 1.4.    |  DENIFICIÓN DE FACTOR INTEGRANTE |
| Si la ecuación diferencial | (1.5) |
no es exacta, pero al multiplicarla por el factor µ(x,y) se convierte en exacta, decimos que µ(x,y) es un factorintegrante de la ecuación diferencial.  |
EJEMPLO #1: 
La expresión  µ(x,y) = xy2 es un factor integrante de la ecuaciónpues al multiplicarla por µ(x,y) obtenemos la ecuación
La cual es exacta.El lector puede comprobar que la solución de ésta ecuación es x2y3 - 2x3y2 = c.De inmediato, la pregunta que surge es, ¿cómo se encuentra un factor integrante?, vamos a tratar de explorar un poco esta cuestión.Si µ(x,y) es un factor integrante de la ecuación 1.5 entonces por el criterio de exactitud tenemos queAplicando la regla del producto, esto se reduce a la ecuación | (1.6) |
Pero despejar µ de la ecuación 1.6, es por lo general más difícil que resolver la ecuación original 1.5. Sin embargo, existen algunas excepciones importantes que podemos estudiar.Suponga que la ecuación 1.5 tiene un factorintegrante que depende solamente de x; es decir, µ = µ(x). En este caso la ecuación 1.6 se reduce aSeparando variables obtenemos | (1.7) |
Integrando a ambos lados de la expresión 1.7 podemos calcular fácilmente el factor integrante.De manera análoga, si la ecuación 1.5 tiene un factor integrante que depende solamente de y, entonces la ecuación 1.6 se reduce a
Separando variables obtenemos | (1.8) |Integrando a ambos lados de la expresión 1.8 podemos calcular fácilmente el factor integrante.Este resultado se enuncia en el siguiente teorema.   |  TEOREMA |
  | Si es continuo y depende solamente de x, entonceses un factor integrante de la ecuación 1.5.Si es continuo y depende solamente de y, entonceses un factor integrante de la ecuación 1.5. |
Observación: al multiplicar por el factorintegrante µ(x,y), podemos perder o ganar soluciones.Es posible enunciar resultados similares al anterior para otros tipos de factores integrantes, el siguiente ejemplo muestra una situación de este tipo.EJEMPLO #2: Resolver la ecuación diferencial
si su factor integrante es de la forma .Haga z = x + y2 y calculemos las derivadas parciales de µ respecto a x e ySustituyendo en laecuación 1.6 obtenemos que
Separando variablesComo M(x,y) = 3x + 2y2 y N(x,y) = x + 4xy + 5y2 , resulta que
Integrando obtenemos que  µ = z. Es decir, que el factor integrante es µ(x,y) = x + y2. Al multiplicar por este factor tenemos que la ecuación original se convierte enla cual es exacta y tiene como solución
EJEMPLO #3: Resuelva la siguiente ecuación diferencial.Primero calculamosAhora intentamos hallar unfactor integrante que dependa únicamente de x o de y, en este caso encontramos que depende de y.
Con lo cual el factor integrante está dado porY al multiplicar la ecuación diferencial por este factor integrante obtenemos la ecuaciónla cual es exacta y tiene como solución
EJEMPLO #4:Halle los valores de  y  de forma tal que  µ(x,y) = xpyq sea un factor integrante de la ecuación diferencial |...