Ee Er Resitencia

Ejercicio 1

Figura 1.1 Viga con cargas puntuales. Geometr´ıa, apoyos y cargas

Para la viga de la figura 1.1, se pide:
1. Calcular las reacciones en los apoyos.
2. Calcular las expresiones anal´ıticas de las leyes de esfuerzos.
3. Representar gr´aficamente las leyes de esfuerzos.
Datos:
L=2m
P = 10 kN; M = 10 kN · m

1

2

EJERCICIO 1.
´
SOLUCION

1. Calcular las reacciones en los apoyos
Lascondiciones de apoyo suponen tres reacciones, que se muestran en la figura 1.2.
Para su c´alculo, por ser la estructura plana, se tienen las tres ecuaciones de equilibrio
en el plano.

Figura 1.2 Viga con cargas puntuales. Reacciones. Sentidos supuestos
Fx = 0, RDx + 3P = 0

(1.1)

Fz = 0, RAz + RDz − 4P = 0

(1.2)

MyD = 0,

2L +

3L
4

RAz + M − L4P = 0

(1.3)
(1.4)

Resolviendo el sistema seobtiene:
RAz =

4
11

L4P − M
L

, RDx = −3P , y RDz = 4P −

4
11

L4P − M
.
L

Sustituyendo valores num´ericos,
RAz = 12, 727 kN, RDx = −30 kN, y RDz = 27, 273 kN.
En la figura 1.3 se representan las reacciones en los apoyos con los sentidos reales.

Figura 1.3 Viga con cargas puntuales. Reacciones. Sentidos reales

2. Calcular las expresiones anal´ıticas de las leyes de esfuerzos
De acuerdo con lageometr´ıa y la distribuci´on de apoyos y cargas en la estructura,
es necesario estudiar tres tramos: AB, BC y CD.

1.2. 2. CALCULAR LAS EXPRESIONES ANAL´ITICAS DE LAS LEYES DE ESFUERZOS3

Figura 1.4 Viga con cargas puntuales. Esfuerzos en el tramo AB
Tramo AB: 0 ≤ x ≤ 0, 75L
Para determinar las leyes de esfuerzos en el tramo AB se ha considerado una secci´on
cualquiera en dicho tramo a unadistancia gen´erica x del origen A, como se muestra en
la figura 1.4. Las leyes de esfuerzos se obtienen planteando el equilibrio entre fuerzas
y esfuerzos del s´olido libre mostrado en dicha figura. Las ecuaciones de equilibrio
son:
Fx = 0, Nx (x) = 0

(1.5)

Fz = 0, Vz (x) − 12, 727 = 0

(1.6)

MyI = 0, My (x) − 12, 727x = 0

(1.7)
(1.8)

Despejando los esfuerzos, las leyes de esfuerzos en este tramoson
Nx (x) = 0, Vz (x) = 12, 727 y My (x) = 12, 727x.
Tramo BC : 0, 75L ≤ x ≤ 1, 75L

Figura 1.5 Viga con cargas puntuales. Esfuerzos en el tramo BC
Para calcular los esfuerzos en este tramo se mantiene el origen en el punto A. Se ha
considerado una secci´on cualquiera del tramo BC a una distancia gen´erica x de el
punto A. Planteando el equilibrio entre fuerzas y esfuerzos del s´olido libremostrado
en la figura 1.5, las ecuaciones de equilibrio son:
Fx = 0, Nx (x) + 30 = 0

(1.9)

Fz = 0, Vz (x) − 12, 727 = 0

(1.10)

MyII = 0, My (x) − 12, 727x − 10 = 0

(1.11)

4

EJERCICIO 1.

Despejando los esfuerzos, las leyes de esfuerzos en este tramo son
Nx (x) = −30, Vz (x) = 12, 727 y My (x) = 12, 727x + 10.
Tramo CD: 1, 75L ≤ x ≤ 2, 75L

Figura 1.6 Viga con cargas puntuales. Esfuerzos en eltramo CD
Se sigue manteniendo el origen en el punto A. Considerando una secci´on cualquiera
del tramo CD a una distancia gen´erica x del punto A, como se muestra en la figura
1.6, las ecuaciones de equilibrio entre fuerzas y esfuerzos son:
Fx = 0, Nx (x) + 30 = 0

(1.12)

Fz = 0, Vz (x) − 12, 727 + 40 = 0

(1.13)

MyIII = 0, My (x) − 12, 727x − 10 + 40(x − 1, 75L) = 0

(1.14)

Despejando losesfuerzos, las leyes de esfuerzos en este tramo son
Nx (x) = −30, Vz (x) = −27, 273 y My (x) = −27, 273x + 150.
3. Representar gr´aficamente las leyes de esfuerzos

Figura 1.7 Viga con cargas puntuales. Esfuerzos axiles

Figura 1.8 Viga con cargas puntuales. Esfuerzos cortantes

´
1.3. 3. REPRESENTAR GRAFICAMENTE
LAS LEYES DE ESFUERZOS

Figura 1.9 Viga con cargas puntuales. Momentos flectores

5

6EJERCICIO 1.

Ejercicio 2

Figura 2.1 Viga isost´atica de directriz recta con articulaci´on

Para la viga de la figura 2.1, se pide:
1. Calcular las reacciones en los apoyos.
2. Calcular las expresiones anal´ıticas de las leyes de esfuerzos.
3. Representar gr´aficamente las leyes de esfuerzos, indicando los valores m´aximos
de los esfuerzos y las abscisas de los valores m´aximos y nulos.
Datos:...