Eigenvalores, Métodos Numéricos

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL ECUADOR
FACULTAD DE INGENIERÍA
ESCUELA DE CIVIL
MÉTODOS NUMÉRICOS

Integrantes:
GRUPO 3
Renato Briceño
Francisco Alemán
Luis Enrique Villafuerte

Fecha: Lunes, 13 de diciembre del 2010.

DEBER DEL TERCER BIMESTRE

Imponerse una matriz simétrica de orden 4, dominada por la diagonal, con norma infinito = 45 y no más de dos elementos nulos,NUEVA EN LA HISTORIA DE LAS MATEMÁTICAS.

|   | 25 | 5 | 6 | -1 |   |
A= |   | 5 | 15 | 2 | 0 |   |
|   | 6 | 2 | 18 | 2 |   |
|   | -1 | 0 | 2 | 18 |   |

1).- Hallar todos los valores y vectores propios por el método del polinomio característico.

1.- Plantear la matriz característica A-λI:

|   | 25-λ | 5 | 6 | -1 |   |
A-λI= |   | 5 | 15-λ | 2 | 0 |   |
|   | 6 | 2 | 18-λ| 2 |   |
|   | -1 | 0 | 2 | 18-λ |   |

2.- Hallar el polinomio característico. Uso de los menores principales de A:

S1=-menores principales de orden 1:

S1=-25+15+18+18= -76

S2=+menores principales de orden 2:

+182218+150018+152218+25-1-118+256618+255515

=320+270+266+449+414+350=2069

S3=-menores principales de orden 3:152021820218+256-16182-1218+255-15150-1018+255651526218

=-(4728+7310+6285+5780)= -24103

S4=+menores principales de orden 4:

25 | 5 | 6 | -1 |
5 | 15 | 2 | 0 |
6 | 2 | 18 | 2 |
1 | 0 | 2 | 18 |

=102054

Análisis del polinomio característico para hallar las raíces:

Pλ=λ4-76λ3+2069λ2-24103λ+102054

Descartes:

4 |
2 |
0 |

+1 | -76 | +2069 | -24103 | +102054 |

I | II | III | IV |P1λ=λ4+76λ3+2069λ2+24103λ+102054 Cero raíces positivas para P1λ y cero raíces negativas para P(λ).

Reales Complejas
- | + | |
0 | 4 | 0 |
0 | 2 | 2 |
0 | 0 | 4 |

Hua:

-76² | ≥ | 1 | x | 2069 | | 5776 | ≥ | 2069 | | VERDADERO |
2069² | ≥ | -76 | x | -24103 | | 4280761 | ≥ | 1831828 | | VERDADERO |
-24103² | ≥ | 2069 | x | 102054 | | 5x58 | ≥ | 2x58 | | VERDADERO |

Todas lasraíces son reales.

Teorema de Lagrange:
Sea α una raíz positiva de Px=0, An>0 entonces α<L=1+BAn1k , donde
B=máx {Aj<0} y An-k,k-n,1 es el primer coeficiente negativo del polinomio.

Pλ=λ4-76λ3+20692-24103λ+102054

B=máx-76,-24103
k=1
α<L=1+2410311=24104
α<24104

P1λ=λ4+76λ3+2069λ2+24103λ+102054: No se puede calcular B ni k. Esto quiere decir que P1λ no tiene raícespositivas y por consiguiente Pλ no tiene raíces negativas.

P2λ=102054λ4-24103λ3+2069λ2-76λ+1

B=máx-76,-24103

k=1

L=1+241031020541=0,23617888568797

A,B=[0,23617888;24104]

Sturm: Calculado en Microsoft Excel.

S0=λ4-76λ3+2069λ2-24103λ+102054
S1=λ3-57λ2+1034,5λ-6025,75

x4 | x3 | x2 | x1 | x0 | | | | | |
1,000 | -76,000 | 2069,000 | -24103,000 | 102054,000 | | 1,000 |-57,000 | 1034,500 | -6025,750 |
0,000 | -19,000 | 1034,500 | -18077,250 | 102054,000 | | 1,000 | -19,000 | | |
| 0,000 | -48,500 | 1578,250 | -12435,250 | | | | | |
| | | | | | | | | |
| | | | | | | | | |
| S2= | 48,500 | -1578,250 | 12435,250 | ( / ) | 48,500 | | | |
| S2= | 1,000 | -32,5412371134 | 256,3969072165 | | | | | |
| | | | | || | | |
| | | | | | | | | |
| 1,000 | -57,000 | 1034,500 | -6025,750 | | 1,000 | -32,5412371134 | 256,3969072165 | |
| 0,000 | -24,4587628866 | 778,10309278351 | -6025,750 | | 1,000 | -24,4587628866 | | |
| | 0,000 | -17,81530980976 | 245,4011584653 | | | | | |
| | | | | | | | | |
| | | | | | | | | |
| | S3= | 17,81530980976 |-245,40115846530 | ( / ) | 17,81530980976 | | | |
| | S3= | 1,000 | -13,77473426428 | | | | | |
| | | | | | | | | |
| | | | | | | | | |
| | 1,000 | -32,54123711340 | 256,39690721650 | | 1,000 | -13,77473426428 | | |
| | 0,000 | -18,76650284912 | 256,39690721650 | | 1,000 | -18,76650284912 | | |
| | | 0,000 | -2,10668260004 | | | | | |
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