Metodos numericos

METODOS NUMERICOS PARA LA RESOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Existen muchos métodos numéricos para la resolución de sistemas de ecuaciones, pero trataremos de explicar algunos de os métodos más utilizados para la resolución de dichos sistemas.
Generalmente los sistemas de ecuaciones ser resuelven mediante métodos aprendidos en la materia de algebra lineal. Algunos de estos métodosson; el Método de SUMA Y RESTA, Método POR IGUALACION, Método por SUSTITUCION, el Método NEWTON RAPSON, GAUSS JORDAN, Y MUCHOS OTROS MAS COMPLEJOS.
A Continuación se explicaran algunos de los métodos.
• Método de SUMA Y RESTA:
Para poder explicar de mejor manera el procedimiento se explicará resolviendo un ejercicio simple.
Sea el sistema de ecuaciones:
X-3y=9 Ec1
2x+y=-10Ec2
Multiplicar todos los miembros de una de las ecuaciones, o de ambas, por número que resulten iguales los coeficientes de una misma incógnita, pero con signo contrario.
X-3y=9 (-2) -2x+6y=-18
2x+y=-10
Realizar la operación correspondiente y sumarlo a la ecuación.
-2x+6y=-18
2x+y=-10
7y= -28
Despejar la variable que quedo y luego sustituirla enalguna de las ecuaciones originales para encontrar el otro término que faltó.
y=-28/7 2x+y=-10 2x=-6 x=-3
y= -4 2x+(-4)=-10 x=-6/2

Por lo tanto la solución del sistema es:
x=-3 y=-4
• Método POR IGUALACIÓN:
Sea el sistema de ecuaciones siguiente:
x + 2y = 22 (Ec. 1)
4x - y = 7 (Ec. 2)
Despejar de ambas ecuaciones la variable que se desee eliminar.
X=22-2y
X=(7+y)/4Igualar ambas ecuaciones y depejar l variable que nos quedo.
22-2y=(7+y)/4
88-8y=7+y
9y=81
Y=9
Sustituir la variable obtenida en una ecuación de las originles,
X+2(9)=22
X=22-18
X=4
Por lo tanto la solución del sistema es:
X=4 y=9
• Método por SUSTITUCIÓN:
Sea el sistema de ecuaciones:
3x + y = 22 (Ec. 1)
4x - 3y = -1 (Ec. 2)
Despejar la variable de una de las ecuaciones.
X=(22-y)/3
Sustituir esa ecuación en la que no se modifico y despejar la variable.
4((22-y)/3)-3y=-1
88-4y-9y=-3
-13y=-91
y=7
Sustituir la variable obtenida en una ecuación original para obtener la otra variable.
3x+(7)=22
3x=15
X=5
Por lo tanto la solución al sistema de ecuaciones es:
X=5 y=7

Los métodos mostrados anteriormente son utilizados para sistemas con nada mas 2 incógnitas,también se pueden resolver con mas incógnitas pero se vuelve muy laborioso. Para sistemas con mas de 2 incógnitas existen métodos menos laboriosos, los cuales se mostraran a continuación.
• Consideremos un conjunto de "m" ecuaciones con "n" incógnitas dado por:


. . . . .
. . . . .
. . . . .

donde son coeficientes conocidos, son incógnitas y son términos conocidos que se denominantérminos no homogéneos.
El sistema de ecuaciones lineales anteriores pueden expresarse de la forma compacta como:

donde A, x , y están definidos respectivamente por:


Resolver un sistema de ecuaciones es encontrar el valor de las incógnitas "x".
Una forma de resolver este sistema de ecuaciones es utilizando la formula multiplicándola por la matriz inversa de A por ambos lados dela igualdad; de la siguiente manera:




(I es la matriz identidad)

De esta manera encontramos que si calculamos la inversa de A y la multiplicamos por el vector "y", obtendremos el vector "x" con las soluciones al sistema de ecuaciones.
Los sistemas de ecuaciones pueden presentar tres casos:
Es el más común, ya que el número de ecuaciones es igual al número de incógnitas.El número de ecuaciones es menor que el de incógnitas y tenemos lo que se conoce como problema subdeterminado.
El número de ecuaciones es mayor que es de incógnitas y tenemos lo que se conoce como problema sobredeterminado. Esto ocurre en el ajuste de rectas y curvas.

• Método de GAUSS-JORDAN
La eliminación de Gauss-Jordan, más conocida como método de Gauss, es un método aplicable...