eigenvalores

 u.m.s.n.h.


“EIGENVALORES Y EIGENVESTORES”


INTRODUCCIÓN:
Este documento tiene como objetivo presentar los conceptos fundamentales de la teoria de eigenvalores y eigenvectores, tambien conocidos como valores y vectores caracteristicos o como valores y vectores propios, de una matriz cuadrada, asi como una revision de los metodos numericos empleados para su determinacion.
Los valoresy vectores propios se utilizan generalmente en sistemas lineales de ecuaciones homogeneos que representan a problemas de ingenieria. El problema de determinar los eigenvalores de una matriz se presenta en problemas de equilibrio dinamico (vibraciones,elasticidad,sistemas oscilatorios). Un sistema lineal homogeneo tiene la forma general:
(A)(X)=0
OBTENCION DE LOS EIGENSISTEMAS:
Si se quierecalcular los valores propios de una matriz dada y ésta es pequeña, se puede calcular simbólicamente usando el polinomio característico. Sin embargo, a menudo resulta imposible para matrices extensas, caso en el que se debe usar un método numérico.

Cálculo de los valores propios
Una herramienta importante para encontrar valores propios de matrices cuadradas es el polinomio característico: decirque λ es un valor propio de A es equivalente a decir que el sistema de ecuaciones lineales A v = λ v → A v - λ v = 0 (factorizando por v queda) (A - λI) v = 0 (donde I es la matriz identidad) tiene una solución no nula v (un vector propio), y de esta forma es equivalente al determinante:

La función p(λ) = det(A - λI) es un polinomio de λ pues los determinantes se definen como sumas de productos.Éste es el polinomio característico de A: los valores propios de una matriz son los ceros de su polinomio característico.
Todos los valores propios de una matriz A pueden calcularse resolviendo la ecuación.
Si A es una matriz n×n, entonces  tiene grado n y A tiene como máximo n valores propios.
El teorema fundamental del álgebra dice que esta ecuación tiene exactamente n raíces (ceros), teniendoen cuenta su multiplicidad. Todos los polinomios reales de grado impar tienen un número real como raíz, así que para n impar toda matriz real tiene al menos valor propio real. En el caso de las matrices reales, para n par e impar, los valores propios no reales son pares conjugados.

Cálculo de los vectores propios
Una vez que se conocen los valores propios λ, los vectores propios se puedenhallar resolviendo el sistema de ecuaciones homogéneo:

Una forma más sencilla de obtener vectores propios sin resolver un sistema de ecuaciones lineales se basa en el teorema de Cayley-Hamilton que establece que cada matriz cuadrada satisface su propio polinomio característico. Así, si  son los valores propios de A se cumple que

Por lo que los vectores columna de  son vectores propios de .Ejemplo de matriz sin valores propios reales
Un ejemplo de matriz sin valores propios reales es la rotación de 90 grados en el sentido de las manecillas del reloj:

Cuyo polinomio característico es  y sus valores propios son el par de conjugados complejos i, -i. Los vectores propios asociados tampoco son reales.
Ejemplo
Considérese la matriz

Que representa un operador lineal R³ → R³. Si sedesea computar todos los valores propios de A, se podría empezar determinando el polinomio característico:


Y porque p(x) = - (x - 2)(x - 1)(x + 1) se ve que los valores propios de A son 2, 1 y -1. El teorema de Cayley-Hamilton establece que cada matriz cuadrada satisface su propio polinomio característico. Es decir

Efectivamente, para el caso del valor propio 2, se puede comprobar que

Dedonde (1, 1, -1) es un vector propio asociado a 2.



DIAGONALIZACION DE UNA MATRIZ:
En álgebra lineal, una matriz cuadrada "A" se dice que es diagonalizable si es semejante a una matriz diagonal. Es decir, si mediante un cambio de base puede reducirse a una forma diagonal. En este caso, la matriz podrá descomponerse de la forma. En donde "P" es una matriz invertible cuyos vectores columna...