Ejemplo de examen faculta de ingenieria usac

UNIVERSIDA DE SAN CARLOS DE GUATEMALA FACULTAD DE INGENIERIA DEPARTAMENTO DE MATEMATICA CLAVE DE EXAMEN

CURSO SEMESTRE FECHA HORARIO DE EXAMEN SECCION EVALUADA CODIGO DE CURSO TIPO DE EXAMEN NOMBRE DE LA PERSONA QUE RESOLVIO EL EXAMEN NOMBRE DE LA PERSONA QUE DIJITALIZA EL EXAMEN

Matemática Básica 2 Segundo 24.09.2007 10:50 – 12.30 I 103 Primer Parcial

NATALIA ESPINAL

KARINA DE LEONUniversidad de San Carlos de Guatemala Facultad de Ingeniería Escuela de Ciencias, Departamento de Matemática AREA MATEMATICA BASICA 2 PRIMER EXAMEN PARCIAL

Problema 1 (20 puntos) a) Use las reglas de derivación para obtener la primera derivada de la función.

y=

1 + 2 tan x 6 senx + 3

b) Encuentre f’’(2) si f(x) = xcos( π x)

Problema 2 Escriba las ecuaciones de las dos rectas quepasan por el punto (2,-3) y que además son tangentes a la parábola y = x 2 + x .

Problema 3 Halle la derivada de la función f ( x) = x − 3 , utilizando el proceso de límite

Problema 4 Determine los valores de las constantes a y b que hagan la función f continua en (−∞,+∞) .

2 x + 1si.x < 3
f(x) = ax + bsi.3 < 3x < 5

x 2 + 2 xi.5 ≤ x

Problema 5

I. Dada la función f(x) = 3 x − 1, halle los siguientes limites si existen.

a)

lim f ( x) x → 1 / 3−

b)

lim f ( x) x → 1 / 3+

c)

lim f ( x) x → 1/ 3

II. Use las leyes de los límites para hallar el siguiente límite

lim tan x − senx x → 0 x cos x

Problema 1

a) Use las reglas de derivación para obtener la primera derivada de la función.

y=

1 + 2 tan x 6 senx + 3

Solución:

Utilizando reglade la cadena obtenemos:

1  1 + 2 tan x 6   y' =  2  sex + 3   

−1/ 2

*

d  1 + 2 tan x 6    dx  senx + 3   

1  1 + 2 tan x 6 y' =  2  senx + 3 

   

−1 / 2

d   6 6 d  (senx + 3) dx 1 + 2 tan x − 1 + 2 tan x dx (senx + 3)    (senx + 3)2      

(

) (

)

1  1 + 2 tan x 6 y' =  2  senx + 3  1  1 + 2 tan x 6 y' =  2  senx + 3        

−1 / 2

 0 + 2 sec 2 x 6 6 x 5 (senx + 3) − 1 + 2 tan x 6 cos( x ) + 0    (senx + 3)2    12 x 5 sec 2 x 6 (senx + 3) − 1 + 2 tan x 6 cos x    (senx + 3)2  

(

( ))

(

)

−1 / 2

[

] [(

)

]

12 x 5 sec 2 x 6 (senx + 3) − 1 + 2 tan x 6 cos x y' =  1 + 2 tan x 6  2 (senx + 3)2  senx + 3   

[(

)

]

b) Encuentre f’’(2) sif(x) = xcos( π x)

Solución:

f ' ( x ) = cos(πx ) + x[− sen(πx )]π → f ' ( x ) = cos(πx ) − πxsen(πx )

f ' ' ( x) = − sen(πx )π − sen(πx )π − πx cos(πx )π f ' ' ( x) = −2πsen(πx ) − π 2 x cos(πx) f ' ' (2) = −2π 2 = −19.73rad

Problema 2

Escriba las ecuaciones de las dos rectas que pasan por el punto (2,-3) y que además son tangentes a la parábola y = x 2 + x .

Solución:

Laecuación de la recta es Y − Y0 = m( X − X 0 ) .

Encontrando la pendiente:

f ( x) = x 2 + x f ' ( x) = 2 x + 1 f ' ( x) = m = 2 x + 1

La pendiente es m = 2x+1

Encontrado la ecuación de la recta:

y + 3 = (2 x + 1)( x − 2) Y = 2 x 2 + 3x − 5

Para encontrar los puntos de tangencia

y = x2 + x

Utilizamos el punto ( x, x 2 + x )

Encontrando la pendiente del punto ( x, x 2 + x )m=

Y − Y0 X − X0

( x 2 + x) − (−3) x 2 + x + 3 m= = x−2 x−2

Igualando pendientes

x2 + x + 3 = 2x + 1 x−2 x 2 − 4x − 5 = 0

( x − 5)( x + 1) = 0

Los puntos de tangencia son x = 5, x = −1

Primera ecuación de la recta con el punto x = 5

y + 3 = m( x − 2) y + 3 = (2(5) + 1)( x − 2) y + 3 = 11( x − 2) y = 11x − 22 − 3 y = 11x − 25

Segunda ecuación de la recta con el punto x= -1

y + 3 = m( x − 2) y + 3 = (2 x + 1)( x − 2) y + 3 = (2(−1) + 1)( x − 2) y + 3 = −1( x − 2) y + 3 = −x + 2 y = −x + 2 − 3 y = − x −1

Problema 3

Halle la derivada de la función f ( x) =

x − 3 , utilizando el proceso de límite

Utilizamos el teorema

lim f ( ∆x + x ) − f ( x ) = f ' ( x) ∆x → 0 ∆x

(x − 3 + ∆x ) (x − 3) lim ( x − 3 + ∆x)1 / 2 − ( x − 3)1 / 2 f ' ( x) = + ∆x...