Ejemplos Conglomerados

´ Tecnicas de Muestreo I
Patricia Isabel Romero Mares
Departamento de Probabilidad y Estad´stica ı IIMAS UNAM

octubre 2012

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Ejemplos muestreo de conglomerados

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Ejemplo 1

´ ´ 1. El gerente de circulacion de un periodico desea estimar el ´ numero promedio de periodicos comprados por casa en cierta ´ localidad. Los costos de traslado de casa a casa son grandes, porlo tanto las 4000 casas en la localidad se agruparon en 400 ´ conglomerados de 10 casas cada uno y se selecciono una m.a.s. de 4 conglomerados. Se realizaron las entrevistas con los siguientes resultados. conglomerado 1 2 3 4 ´ total de periodicos 19 20 16 20 Mi 10 10 10 10

´ Estime el promedio de periodicos por casa para la comunidad.

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Ejemplo 1

1. Conocemos M el total de casasen la comunidad M = 4000. N = 400 conglomerados, n = 4 conglomerados en muestra. ´ El promedio de periodicos por casa se estima con: ˆ ˆ ¯ Y NY N n ˆ ¯ Ye = = = ∑ yi M M Mn i=1 Sustituyendo valores: ˆ ¯ Ye = 1 400 (19 + 20 + 16 + 20) = (75) = 1.875 (4000)(4) 40

Con varianza estimada: ˆ2 1 ˆ ˆ N2 n Sb ˆ ˆ ¯ V Ye = 2 V Y = 2 1 − M M N n ˆ2 con Sb =
1 n−1

ˆ ¯ ∑n i=1 yi − Y

2

ˆ ¯ yY=∑n yi i=1 n
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Ejemplo 1

Sustituyendo valores: 4002 ˆ ˆ ¯ V Ye = 40002 1− 4 400 3.5833 = 0.00887 4

ˆ ˆ ¯ V Ye = 0.0942

El intervalo del 95 % de confianza para el promedio de ´ periodicos comprados por casa es: 1.875 ± 1.96(0.0942) (1.69, 2.06)

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Ejemplo 1

2. Supongamos que no conocemos M el total de viviendas en la comunidad. 75 ∑n yi ˆ ¯ Ye = ni=1 = = 1.875 ∑i=1 Mi40 Con varianza estimada: ˆ ˆ ¯ V Ye
∑n Mi i=1 n

ˆ ¯ n 1 1 n yi − Ye Mi = 1− ˆ ∑ N n M 2 i=1 n−1 ¯ =
40 4

2

ˆ ¯ donde M =

= 10

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Ejemplo 1

Sustituyendo valores: 4 ˆ ˆ ¯ V Ye = 1 − 400
4 ˆ ¯ 1 1 ∑i=1 yi − Ye Mi 4 100 n−1 2

= 0.00887

El intervalo del 95 % de confianza para el promedio de ´ periodicos comprados por casa es: 1.875 ± 1.96(0.0942) (1.69, 2.06) SALE LOMISMO !!!!

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Ejemplo 1

˜ Por que todos los conglomerados son del mismo tamano. Si Mi = k para toda i = 1, . . . , N ⇒ M = ∑N Mi = Nk. i=1

n ˆ ˆ1 Y = N ¯ Ye = ∑ yi M Mn i=1

∑n yi ˆ2 ¯ Ye = ni=1 ∑i=1 Mi
n ˆ 2 ∑ yi ¯ Ye = i=1 nk

N n ˆ1 ¯ Ye = ∑ yi Nkn i=1

Entonces, si Mi = k, i = 1, . . . , N los dos estimadores son iguales.

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Ejemplo 1

Lo mismo pasa con lasvarianzas.
ˆ Y ˆ1 ¯ Ye = M N2 n ˆ1 ¯ V Ye = 2 1 − N M
N 2 Sb n 2

∑ Yi ˆ2 ¯ Ye = i ∑i Mi n N2 ˆ2 ¯ V Ye = 2 1 − N M
N

1 1 N ¯ ∑ Yi − Ye Mi n N − 1 i=1

2

∑
i=1

¯ Yi − Y

∑
i=1 N

¯ Yi − Ye Mi ¯ Yi − kYe Yi − k Yi − k Yi −
2

2

∑
i=1 N

si Mi = k ∀i
2

∑
i=1 N

∑N Y i i=1 ∑N M i i=1 ∑N Yi i=1 Nk
2

2

∑
i=1 N

∑
i=1 N

∑N Y i i=1 N
2

∑
i=1

¯Yi − Y

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Ejemplo 2

˜ı ´ 2. Una compan´a de taxis quiere estimar la proporcion de llantas en mal estado en sus 175 taxis (ignore la llanta de ´ refaccion). ´ Es impractico seleccionar una m.a.s. de llantas, por lo que se ´ uso un muestreo de conglomerados, con cada taxi como conglomerado. ´ ´ Se tomo una m.a.s. de 25 taxis con la siguiente informacion:

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Ejemplo 2

Taxi1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

No. de llantas en mal estado Yi 2 4 0 1 2 0 4 1 3 1 2 0 1

Taxi 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

No. de llantas en mal estado Yi 1 2 2 4 1 0 0 3 1 2 2 1

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Ejemplo 2

N = 175 (taxis)

n = 25

Mi = 4

M = 700 (llantas)

´ La proporcion de llantas en mal estado que usan los taxis de la ˜ı compan´a se estima con: ˆ ¯ ˆ NY N n Y ˆ = = P=∑ yi M M Mn i=1 Sustituyendo valores: ˆ P= Con varianza estimada: ˆ ˆ V P ˆ2 N2 n Sb 1− M2 N n 1752 25 1.583 = 1− 2 700 175 25 = 0.003392 =
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175 (40) = 0.40 700(25)

Ejemplo 2

ˆ ˆ V P = 0.058 ´ El intervalo del 95 % de confianza para la proporcion de llantas en mal estado es: (0.286, 0.514)

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Ejemplo 3

3. Una firma tiene 80 tiendas en Florida y 140 en California....