ejercicicios

GEOMETRÍA ANALÍTICA





PARES DE RECTAS:

La Geometría Analítica presenta dos problemas fundamentales:

a) Cuando se parte de una ecuación para encontrar su grafica.
b) Cuando se analiza una grafica para obtener su ecuación.

A partir de las premisas anteriores, se presentan diversas situaciones en las que se involucran graficas y ecuaciones y vamos a analizar aquellos casos en losque las graficas son líneas rectas.

Son ecuaciones lineales, aquellas cuya representación grafica es una línea recta y fueron abordadas en el tema anterior, hasta ahora solo se ha trabajado con una sola ecuación o bien con sus elementos fundamentales a través de las cuales hemos deducido la ecuación general.

Algunos casos particulares se dan cuando las rectas toman posiciones especiales,paralelas al eje “X”, o al eje “Y”, es decir son horizontales o verticales. Entonces su ecuación general cuya forma es AX + BY + C = 0, se simplifica y se obtiene que:

Rectas Verticales y Horizontales
La ecuación de una recta vertical se expresa de la forma x = a, donde a es una constante. Recuerda que en una recta vertical la pendiente no está definida o es infinita.

La ecuación de unarecta horizontal se expresa de la forma y = b, donde b es una constante. La pendiente de una recta horizontal es cero.

Ejemplos: Construye la gráfica de cada ecuación:
1) x = -2
2) y - 5 = 0
3) 2y + 12 = 0
4) 3x – 15 = 0

Pares de rectas
Un sistema de ecuaciones lineales con dos o más incógnitas, es representado en el plano cartesiano por un conjunto de rectas y se usa una recta porcada ecuación, es estos casos es conveniente tomarlas en pares, relacionando aquellas que tengan datos comunes.

Dadas las ecuaciones de las rectas R1 y R2, que forman un sistema de ecuaciones lineales al ser representarlas en el Plano Cartesiano, se generan las siguientes situaciones:
a) Son la misma recta.
b) Rectas Paralelas.
c) Rectas que se cortan en un punto.
a. Rectas Perpendiculares.b. Rectas Oblicuas.
Ecuaciones que son la misma recta:
Sean las rectas 3x + 2y = 4 y 6x + 4y = 8, al llevarlas al Plano Cartesiano se puede verificar que las dos rectas quedan superpuestas, es decir, una encima de la otra, esto se debe a que los coeficientes y el termino constante de una son múltiplos de la otra. En realidad se trata de la misma recta.


Un caso especial del paralelismoentre rectas es la coincidencia. Una condición necesaria y suficiente para que dos rectas l1 y l2 sean coincidentes es la proporcionalidad entre sus coeficientes. Es decir, las rectas de ecuaciones
      
Ax + By + C = 0 y A1x + B1y + C1 = 0 son coincidentes 



Rectas paralelas
Dos o más rectas son paralelas si ambas poseen la misma pendiente, es decir, son paralelas sólo si susinclinaciones son idénticas, o si ambas son verticales y por ende no tienen pendiente definida.

Condición de Paralelismo
Si dos rectas, l1 y l2, son paralelas, sus pendientes son iguales, m1 = m2.

Como l1 y l2 son paralelas, sus inclinaciones q1 y q2 son iguales, es decir, q1 = q2 y en consecuencia tg q1 = tg q2, por lo tanto m1 = m2.
Rectas que se cortan en un punto
a) RectasPerpendiculares
Dos rectas son Perpendiculares si forman un ángulo recto entre ellas, si el producto de sus pendientes es igual a -1, o una posee pendiente 0 y la otra no está definida (infinita).

Condición de Perpendicularidad
Si dos Rectas son perpendiculares, la pendiente de una de las rectas es recíproca y de signo contrario de la pendiente de la otra recta, m1 = -1/ m2



Sean l1 y l2dos recta perpendiculares, la inclinación de una excede de la otra en 90° ; es decir, en cualquiera de los casos q1=q2+90° o q2=q1+90°; por lo tanto:
tgq1 = -ctg q2

y como tg q1 = m1 y tg q2 = m2,
Tenemos que: m1 = -1/ m2
También: dos rectas son perpendiculares entre sí, cuando el producto de sus pendientes...