ejercicio 46

EJERCICIO 1
1. METODO SIMPLEX
IDENTIFICACIÓN, PLANTEAMIENTO Y ANÁLISIS DE PROBLEMAS

Identifique una situación empresarial ( o en textos) en la cual sea necesario tomar una decisión, es decir, que sea una situación problema. Plantee la situación e identifique a nivel cualitativo todos los elementos de un modelo de programación lineal: Variables de decisión, función objetivo y restricciones.Luego plantee dichos elementos en forma matemática y establezca la solución por el método gráfico (eso obliga a que la situación tenga dos variables de decisión).

Repartición más rentable de estantería entre dos marcas. El gerente de una pequeña tienda de abarrotes independiente está tratando de determinar el mejor uso de espacio de estantería para los refrescos. La tienda vende marcasnacionales y genéricas y en la actualidad tiene 200 pies cuadrados de espacio de estantería disponibles. El gerente desea asignar al menos 60% del espacio a las marcas nacionales y, sin importar la rentabilidad, asignar al menos 10% del espacio a las marcas genéricas. ¿Cuántos pies cuadrados de espacio debería asignar el gerente a las marcas nacionales y a las marcas genéricas, si las marcas nacionalesson más rentables que las genéricas?
Solución: Sean las variables de decisión
X1: # Pies cuadrados de espacio para las marcas nacionales,
X2: # Pies cuadrados de espacio para las marcas genéricas.
El Objetivo del gerente es distribuir su espacio de estantería entre las dos marcas de refresco, de la forma que le dé mayor rentabilidad. Sean ahora C1 > 0 ($/pie2) la rentabilidad que produce cadapie2 asignado a las marcas nacionales, y C2 > 0 ($/pie2) la rentabilidad que produce cada pie2 asignado a las marcas genéricas. Entonces la función objetivo (F.O.), cuyo valor máximo se buscará, será una función de renta, con la forma
F.O.: Z= C1X1 + C2X2,
donde se incorporan las rentas obtenidas por el espacio de estantería asignado a las diversas marcas:
C1X1 ($) = C1 ($/pie2) X1 (pies2)
larenta producida por los X1 pies2 que se asignen a las marcas nacionales y
C2X2 ($) = C2 ($/pie2) X2 (pies2)
la renta producida por los X2 pies2 que se asignen a las marcas genéricas.
Para la solución del problema se supone que
C1 > C2
de donde se tiene que C1 / C2 > 1, y en consecuencia la pendiente
m = -C1 / C2 < -1 (1)
de la recta objetivo, obtenida al reescribir la F.O. como
X2 = Z + mX1(2)
Ahora las restricciones que se tienen para el problema son:
• En primer lugar que los 200 pies cuadrados de estantería deben asignarse completamente siendo consistente con la búsqueda de máxima rentabilidad, lo cual quiere decir que
X1 + X2 = 200,
ecuación que puede escribirse como X2 = 200 - X1 .
• En segundo lugar, como se debe asignar al menos 60% del espacio (o sea de los 200 piescuadrados) a marcas nacionales, debe ser entonces que
X2 ≥ 120;
• en tercer lugar, como se debe asignar al menos 10% del espacio (o sea de los 200 pies cuadrados) a marcas genéricas, debe ser entonces que
X1 ≥ 20
• finalmente se imponen las restricciones de no-negatividad, según las cuales
X1≥ 0, X2≥ 0,
Aunque en este caso resultan redundantes, en vista de las dos anteriores restricciones.Puede enunciarse ahora el modelo matemático para el problema de Programación lineal como:
MAX. Z= C1X1 + C2X2
s.a.
R1 X1 + X2 = 200 (asignar todo el espacio entre las dos marcas)
R2 X1 ≥ 0.6(200) =120 (asignar al menos 60% del espacio a marcas nacionales)
R3 X2 ≥ 0.1(200) =20 (asignar al menos 10% del espacio a marcas genéricas)
X1 , X2 ≥ 0 (no-negatividad de las variables de decisión)
Pararesolver gráficamente este problema de dos variables de decisión, se comienza por determinar la región factible, formada por los puntos que satisfacen todas las restricciones. Se obtiene como región factible el segmento en rojo AB de la Figura 1, y resulta de intersectar la recta azul de la restricción R1 con el semiplano derecho de la restricción R2, limitado por la recta verde y con el...