Ejercicios 3 Matemáticas Especiales
CORPORACION UNIVERSITARIA
MINUTOS DE DIOS
INGENIERIA DE SISTEMAS
IX SEMESTRE
Matemáticas Especiales
Actividad 3
PRESENTADO POR:
YESSEIT GERARDO LINARES AVILA
208747
PRESENTADO A:
PROFESOR. LUIS ENRIQUE ALVARADO
VILLETA – CUNDINAMARCA
2
Ejercicio 1
Sean f : \ + → \ y p ∈ ^ . La Transformada de Laplace de f en p se define como:
0
∞
L [ f ( x) ] ( p ) = ∫ e −px f ( x) dx ,
0
Siempre que la integral exista.
L se denomina Operador de la Transformada de Laplace.
La transformada de Laplace se puede denotar de varias maneras:
L [ f ( x) ] ( p ) = F ( p ) = l ( p) .
f
A partir de la definición se puede demostrar una de las propiedades básicas más
importantes de la transformada de Laplace:
Teorema 1. 2. 2: La Transformada de Laplace es unatransformación lineal.
Demostración:
∞
(i) L f ( x) + g ( x )⎤ ( p ) = ∫ e − px ( f ( x) + g ( x ) ) dx
⎦
0
∞
= ∫ e − px f ( x) + e − px g ( x) dx
0
∞
∞
0
0
= ∫ e − px f ( x) dx + ∫ e − px g ( x) dx = L [ f ( x) ] ( p ) + L [ g ( x) ] ( p )
∞
∞
0
0
(ii) L[k ⋅ f ( x)]( p ) = ∫ e − px (k ⋅ f ( x) ) dx = k ∫ e − px f ( x) dx = kL[ f ( x)]( p ) .
3
f n ( x) = x nes:
Ejercicio 3: Demostrar que la transformada de Laplace para
n!
F ( p) =
, con n = 0, 1, 2, ...
p n +1
n
Solución: (Inducción sobre n)
Caso n = 0:
En este caso: f ( x) = 1 .
Aplicamos la definición a esta función para obtener:
⎛
∞
0
∫
1
− px
F ( p) = e
b
− px
dx = lim⎜ − e
b→∞ ⎜
p
⎝
0
⎞
1
⎜= .
⎜ p
0 ⎠
Por lo tanto, se cumple lafórmula.
Caso n = k:
Supondremos válido para n = k – 1, es decir, la hipótesis de inducción es:
Fk −1 ( p) =
( k −1) ! .
pk
∞
k − px
Fk ( p ) = ∫ x e dx .
Aplicamos la definición, y obtenemos:
0
Integramos por partes:
∞
⎛
⎞
b
k
x
∞
k
k
F ( p ) = x k e − px dx = lim ⎜ − e − px ⎜ +
x k −1e − px dx = F ( p ) .
k −1
k
∫
b→∞ ⎜
p
⎜ p∫
0
0
0 ⎠
⎝p
Usamos la hipótesis de inducción y queda:
F ( p) =
k
k
F
p
k −1
( p) =
k ( k −1)!
p
pk
k!
=
.
p k +1
Así queda demostrada la fórmula.
Nota: Hemos usado el hecho que lim e − pb = 0 . Sin embargo, esto sólo es válido si
b→∞
4
“Re(– p)” es negativo, o equivalentemente, si Re(p) >0.
5
f ( x) = e ax .
Ejercicio 4: Hallar la Transformada deLaplace para:
Solución:
Aplicamos la definición directamente, y queda:
∞
∞
F ( p ) = ∫ e ax ⋅ e − px dx = ∫ e( a − p ) x dx =
0
0
1
a− p
∞
e( a − p ) x
1
=
p−a
0
.
Notas:
1. En vez de escribir: lim (
b→∞
) 0 , hemos usado la notación: ( ) 0 . Esta notación se
∞
b
Utilizará de ahora en adelante.
2. Al evaluar la integral, estamos asumiendo que e( a− p ) ⋅∞ = 0 , lo cual solamente es
cierto si: Re(a − p) < 0 . Es decir, la transformada de Laplace tiene sentido si
Re(p) > a.
f ( x) = sin ax .
Ejercicio 6 Hallar la transformada de Laplace para:
Solución:
∞
Aplicamos la definición: F ( p ) = ∫ sin ax ⋅ e − px dx .
0
Integramos por partes, y llegamos a:
sin ax ⋅e − px
F ( p) = −
p
∞
+
0
a∞
a∞
p0
p0
− px∫ cos ax ⋅ e dx =
∫ cos ax ⋅ e
− px
dx .
Volvemos a integrar por partes, y obtenemos:
F ( p) =
a ⎡ cos ax ⋅e − px
−
∞
−
p
sin ax ⋅ e
∫
⎜
p
0
⎤
a∞
p0
− px
a ⎡1
a
⎤
− F ( p) .
dx =
⎜
⎜
p⎣p
p
⎜
⎦
6
Hemos llegado a una ecuación con variable F(p):
F ( p) =
a2
p2
a2
−
F ( p) .
p2
Despejamos F(p) yobtenemos la Transformada de Laplace para la función seno:
F ( p) =
a2
.
a2 + p2
Nota: Nuevamente hemos usado el hecho que lim e− pb = 0 , lo que implica Re(p) >0.
b→∞
Ejercicio 7: Hallar la Transformada de Laplace para:
f ( x) = cos ax .
Solución:
Usando la definición llegamos a la siguiente integral, muy similar a la del ejemplo
∞
Anterior
:
F ( p ) = ∫ cos ax ⋅ e − px...
Regístrate para leer el documento completo.