Ejercicios De Matematicas 3 Geco

TEMA 1 1. Encuentra, mediante representaciones gr´ficas, los puntos de m´ximo y m´ a a ınimo de las siguientes funciones en los conjuntos indicados discutiendo cu´les pueden ser las causas que motivan que exista o no a soluci´n global. o a) f (x, y) = x + y, S = (x, y) ∈ R2 : x + y ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0 . b) f (x, y) = 1 − x2 − y 2 , S = (x, y) ∈ R2 : x + y ≤ 2, x ≥ 0, y ≥ 0 . c) f (x, y) = (x − 1)2 +(2 − y)2 , S = (x, y) ∈ R2 : x + 1 ≥ y, x + y ≤ 2, x ≥ 0, y ≥ 0 . d) f (x, y) = x2 − y, S = (x, y) ∈ R2 : 2 ≤ x ≤ 4, y ≥ 2 . e) f (x, y) = x + y, S = (x, y) ∈ R2 : 1 ≤ x ≤ 4 . f) f (x, y) = xy, S = (x, y) ∈ R2 : x + 2y = 4, x ≥ 0, y ≥ 0 . g) f (x, y) = 3x + y, S = (x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ 5, y + 1 ≥ x, x ≥ 0 . h) f (x, y) = x − y, S = (x, y) ∈ R2 : 4x2 + y 2 ≤ 8, y ≥ x . i) f (x, y) = y − x, S =(x, y) ∈ R2 : y ≥ x2 , x ≥ y 2 . j) f (x, y) = x2 + y 2 , S = (x, y) ∈ R2 : x + 4y ≥ 5, 0 ≤ x ≤ 1, y ≥ 0 . 2. Sean los problemas de optimizaci´n o maxx,y s. a: 2x + y x2 − 4x + y ≥ 0 3x + 5y ≤ 18 x ≥ 0, y ≥ 0        minx,y s. a: 2x + y x2 − 4x + y ≥ 0 3x + 5y ≤ 18 x ≥ 0, y ≥ 0       

(1),

(2)

a) Representa gr´ficamente el conjunto factible. ¿Es un conjunto convexo? ¿Es unconjunto cerrado y a acotado? ¿Tienen los problemas (1) y (2) soluci´n? o b) Halla, si la hubiese, la soluci´n de los problemas anteriores. o c) Localiza los puntos (4,0) y (1,3) en su gr´fico. ¿Son dichos puntos ´ptimos globales?, ¿Son ´ptimos a o o locales?

3. Considera los problemas maxx,y s. a:  log(x2 + y 2 + 1)  x + y = 12 (1),  x ≥ 0, y ≥ 0 minx,y s. a:  log(x2 + y 2 + 1)  x + y = 12(2)  x ≥ 0, y ≥ 0

a) Demuestra que tienen soluci´n. o b) Demuestra que el problema (2) tiene una unica soluci´n. ´ o c) Encuentra las soluciones a los problemas (1) y (2) mediante representaciones gr´ficas. a

4. Considera los problemas maxx,y s. a:  xy + x + 2y  2x + y ≤ 2 (1),  x ≥ 0, y ≥ 0 maxx,y s. a:  xy + x + 2y  2x + y = 2 (2) y  x ≥ 0, y ≥ 0 maxx,y s. a:  3 (xy + x + 2y) + 4 (3). 2x + y ≤ 2  x ≥ 0, y ≥ 0

1

a) Demuestra que el problema (1) tiene soluci´n. o b) Demuestra que el problema (1) tiene una unica soluci´n. ´ o c) Resuelve gr´ficamente el problema (1). a d) Encuentra la soluci´n de los problemas (2) y (3). o

5. Considera el problema de optimizaci´n o max
x,y f (x, y) (x, y) ∈ S

siendo f (x, y) = exy+4x+y y S = (x, y) ∈ R2 : xy ≥ 2, x + y ≤ 3 . + a)Demuestra que el conjunto S es convexo. b) Demuestra que la funci´n f (x, y) es estrictamente cuasic´ncava en el conjunto S. o o c) Demuestra que el problema anterior tiene una unica soluci´n. ´ o d) Encuentra la soluci´n del problema anterior. o

6. Considera el problema de optimizaci´n o maxx,y f (x, y) (x, y) ∈ S ,

siendo f (x, y) = exy+4x y S = (x, y) ∈ R2 : xy = 2, 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 2 .a) ¿Es S un conjunto convexo? ¿Es S un conjunto cerrado y acotado? b) Demuestra que la funci´n f es estrictamente cuasic´ncava en el conjunto R2 . o o ++ c) Encuentra la soluci´n del problema anterior. o

7. Considera los problemas min f (x, y) (x, y) ∈ S
x,y

(1)

y

max

x,y f (x, y) (x, y) ∈ S

(2)

siendo f (x, y) = exy+3x y S = (x, y) ∈ R2 : x2 + y ≤ 9, 3x + y ≥ 9, x ≥ 1 . a)Sin calcular las soluciones de los problemas (1) y (2), contesta a las siguientes cuestiones. i) Demuestra que los problemas (1) y (2) tienen soluci´n. o ii) Demuestra que S es un conjunto convexo. iii) Demuestra que f (x, y) es estrictamente cuasic´ncava en el conjunto S. o iv) Demuestra que el problema (2) tiene una unica soluci´n. ´ o v) ¿Podr´ asegurar unicidad de soluci´n para el problema(1)? ıas o b) Resuelve gr´ficamente los problemas (1) y (2). a

8. Sean los problemas de optimizaci´n o max f (x) x∈S (P 1) y min f (x) x∈S (P 2).

Encuentra, cuando sea posible, una funci´n f y un conjunto S de manera que: o a) f sea c´ncava, S convexo y que el problema (P1) tenga exactamente tres soluciones. o 2

b) f sea c´ncava, S convexo y que el problema (P1) no tenga soluci´n. o o c) f...