ejercicios compleja
Páginas: 2 (303 palabras)
Publicado: 3 de septiembre de 2013
Solución de Primera Prueba MAT - 215.
PRIMERA PARTE
V
1
F
V
V
F
F
F
V
F
3
2
F
4
5
6
7
8
9
10
SEGUNDA PARTE
Problema No 1.(1.1) Por álgebra de funciones continuas, se tiene que f es continua para
todo (x; y) 2 R2 tal que x 6= 0:
Sea b 2 R y estudiemos la continuidad de f en (0; b):
Tenemos que,lim
(x;y)!(0;b)
sen(xy)
x
ysen(xy)
=
lim
xy
(x;y)!(0;b)
= b
= f (0; b)
f (x; y) =
lim
(x;y)!(0;b)
Luego, f es continua en (0; b), para todo b 2 R:
(1.2)Tenemos que,
@f
(0; 0) =
@x
@f
(0; 0) =
@y
@f
(0; k)
@x
lim
f (h; o)
h
h!0
lim
f (0; 0)
f (0; k)
0
f (0; 0)
= lim
k!0
k
0
k
=0
=1;
f (0; k)
h
sen(hk)
k
sen(hk) hk
h
= lim
= lim
h!0
h!0
h
h2
2
k cos(hk) k
k sen(hk)
= lim
= lim
= 0;
h!0
h!0
2h
2
=
lim
f (h; k)
0
h
h!0
kk!0
= lim
h!0
1
@f
(h; 0)
@y
=
lim
f (h; k)
f (h; 0)
k
sen(hk)
h
= lim
k!0
k
k!0
0
sen(hk)
= 1:
k!0
hk
= lim
Por lo tanto,@2f
(0; 0)
@y@x
@2f
(0; 0)
@y@x
=
=
lim
#f
(h; 0)
#y
#f
(0; 0)
#y
h
h!0
#f
(0; k)
lim #x
k!0
k
= lim
1
h!0
#f
(0; 0)
0
#x
= limh!0
1
h
0
k
=0
= 0:
Problema No 2.
Si x = u v 2 e y = uv, entonces
@w
@u
2
@ w
@v@u
=
=
=
=
=
=
@f @x @f @y
@f
@f
+
=
+v
@x @u @y @u
@x@y
@ @f
@
@f
+
v
@v @x
@v
@y
2
2
@ f @x
@ f @y @f
@ @f
+
+
+v
@x2 @v
@y@x @v
@y
@v @y
@ 2 f @x
@ 2 f @y @f
@ 2 f @x @ 2 f @y
+
+
+v
+ 2
@x2 @v
@y@x @v@y
@x@y @v
@y @v
2
2
2
@ f
@ f
@f
@ f
@2f
+
2v 2
+ uv 2
2v 2 + u
@x
@y@x @y
@x@y
@y
2
2
2
@ f
@ f
@ f
@f
2v 2 + u 2v 2
+ uv 2 +
@x
@x@y
@y
@y
2
PRIMERA PARTE
V
1
F
V
V
F
F
F
V
F
3
2
F
4
5
6
7
8
9
10
SEGUNDA PARTE
Problema No 1.(1.1) Por álgebra de funciones continuas, se tiene que f es continua para
todo (x; y) 2 R2 tal que x 6= 0:
Sea b 2 R y estudiemos la continuidad de f en (0; b):
Tenemos que,lim
(x;y)!(0;b)
sen(xy)
x
ysen(xy)
=
lim
xy
(x;y)!(0;b)
= b
= f (0; b)
f (x; y) =
lim
(x;y)!(0;b)
Luego, f es continua en (0; b), para todo b 2 R:
(1.2)Tenemos que,
@f
(0; 0) =
@x
@f
(0; 0) =
@y
@f
(0; k)
@x
lim
f (h; o)
h
h!0
lim
f (0; 0)
f (0; k)
0
f (0; 0)
= lim
k!0
k
0
k
=0
=1;
f (0; k)
h
sen(hk)
k
sen(hk) hk
h
= lim
= lim
h!0
h!0
h
h2
2
k cos(hk) k
k sen(hk)
= lim
= lim
= 0;
h!0
h!0
2h
2
=
lim
f (h; k)
0
h
h!0
kk!0
= lim
h!0
1
@f
(h; 0)
@y
=
lim
f (h; k)
f (h; 0)
k
sen(hk)
h
= lim
k!0
k
k!0
0
sen(hk)
= 1:
k!0
hk
= lim
Por lo tanto,@2f
(0; 0)
@y@x
@2f
(0; 0)
@y@x
=
=
lim
#f
(h; 0)
#y
#f
(0; 0)
#y
h
h!0
#f
(0; k)
lim #x
k!0
k
= lim
1
h!0
#f
(0; 0)
0
#x
= limh!0
1
h
0
k
=0
= 0:
Problema No 2.
Si x = u v 2 e y = uv, entonces
@w
@u
2
@ w
@v@u
=
=
=
=
=
=
@f @x @f @y
@f
@f
+
=
+v
@x @u @y @u
@x@y
@ @f
@
@f
+
v
@v @x
@v
@y
2
2
@ f @x
@ f @y @f
@ @f
+
+
+v
@x2 @v
@y@x @v
@y
@v @y
@ 2 f @x
@ 2 f @y @f
@ 2 f @x @ 2 f @y
+
+
+v
+ 2
@x2 @v
@y@x @v@y
@x@y @v
@y @v
2
2
2
@ f
@ f
@f
@ f
@2f
+
2v 2
+ uv 2
2v 2 + u
@x
@y@x @y
@x@y
@y
2
2
2
@ f
@ f
@ f
@f
2v 2 + u 2v 2
+ uv 2 +
@x
@x@y
@y
@y
2
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