Ejercicios variable compleja

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EJERCICIOS
1. La ecuación z  1  z  1  3 representa una curva plana. Describa la curva y exprese su ecuación en coordenadas rectangulares. 2. Demuestre que si c es una constante real positiva,entonces la ecuación representa un círculo si c  1 y una línea recta sí c  1 . 3. Describa geométricamente el conjunto de puntos determinado por las siguientes relaciones y dibuje la región o curva:a) Re (2  3i) z   0 b) Re( z )  z  2 c) 1  z  2  i  4 d) Im( z )  Re(z ) e) z  i  z  1 f) 2i  z  z  1  3i g) (Im z )2  Re( z ) h) 2 Re( z )  z i) 
2

z 1 c z 1


2

arg( z  1  i) 

3 4

 x y 4. Muestre que si se define el número complejo z  x  iy como la matriz   y y x   u v   x  y  u v  w  u  iv como   entonces el producto matricial   corresponde v u   y x  v u   x  y   u v  al producto de números complejos zw y la suma matricial    a la suma  y x  v u  de complejos z  w . Finalmente, verifique que loscomplejos con la representación matricial satisface la definición de campo algebraico.
5. Verifique que la representación matricial de números complejos definida en el ejercicio anterior es larepresentación de la composición de una ampliación(o disminución) por el factor r y una rotación de ángulo  alrededor del origen, donde z  r (cos  i sen ) . Y muestre también que si w  s(cos   i sen) entonces el producto zw corresponde a un factor de ampliación rs y una rotación de    alrededor del origen. 6. Muestre que arg( zw)  arg( z)  arg(w) . Utilice la definición de z y w tal como sedefinieron en el ejercicio anterior. 7. Explique el error en la siguiente lógica: i 2  i  i  1 1  (1)(1)  1  1

8. Calcule el módulo, arg( z ) , Arg ( z ) y z : a) z 

i 3 1  ib) z  cos   i sen  ,     d) z  sen  i cos  ,

3 2

c) z  2  2 3 i e) z   cos


2

 


5

 i sen


5

f) z 

1  cos   i sen , 1  cos   i sen...
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