Ejercicios complejos

Solucionario

7

Números complejos
ACTIVIDADES INICIALES

7.I.

Clasifica los siguientes números, diciendo a cuál de los conjuntos numéricos pertenece (entendiendo como
tal el menor conjunto).
؊10
e) ——
2

10
a) ——
3

c) ؊3

d)

a) Racional

7.II.

b) 6
b) Natural

c) Entero

f) ␲

e) Entero

d) Irracional (real)

ෆ
͙2

f) Irracional (real)

Calcula elmódulo y el argumento de los siguientes vectores dados en coordenadas.
៮៬
a) u ‫)2 ,1؊( ؍‬

៮៬
b) v ‫)1؊ ,1؊( ؍‬

៮៬
a) ͉ u ͉ ϭ

ෆෆ
͙(Ϫ1)2 ϩ 22

៮៬
b) ͉ v ͉ ϭ

ෆෆෆ
͙(Ϫ1)2 ϩ (Ϫ1)2

៮៬
c) w ϭ

22 ϩ ෆ
͙ෆ(Ϫ1)2

ϭ

ෆ
͙5;
ϭ

ෆ
͙5;

ϭ

៮៬
c) w ‫)1؊ ,2( ؍‬

2
៮៬
arg u ϭ arc tg ᎏᎏ ϭ 116Њ33Ј
Ϫ1

ෆ
͙2;

Ϫ1
៮៬
arg v ϭ arc tg ᎏᎏ ϭ 225Њ
Ϫ1

Ϫ1
៮៬
arg w ϭ arctg ᎏᎏ ϭ 333Њ26Ј
2

2␲
7.III. Calcula las coordenadas de un vector de módulo 5 y de argumento —— radianes.
3

΃ ΂

2␲
2␲
Ϫ5 5͙ෆ
3
៮៬
v ϭ 5 cos ᎏᎏ, sen ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ, ᎏᎏ
3
3
2
2

΂

΃

EJERCICIOS PROPUESTOS
7.1. Halla el conjugado, el opuesto y el módulo de cada uno de los siguientes números complejos.
a) 3 ؊ i

b) ؊2 ؊

ෆ
͙2i

c) ؊5

d)

ෆ
͙3i

z
ෆ
a) 3 Ϫ i
b) Ϫ2Ϫ ͙2i
ෆ
c) Ϫ5
d)

ෆ
͙3i

؊z

͉z ͉

3ϩi

Ϫ3 ϩ i

Ϫ2 ϩ ͙2i
ෆ

2 ϩ ͙2i
ෆ

3 ϩ (ෆ
ෆ
͙ෆϪ1)2 ϭ ͙10
(Ϫ2)2 ϩ (Ϫ2)2 ϭ ͙6
ෆ
͙ෆෆෆ

Ϫ5

5

5

Ϫ͙3i
ෆ

Ϫ͙3i
ෆ

ෆ
͙3

2

7.2. Representa en el plano complejo el conjunto A = {z ʦ C: ͉ z ͉ ‫.}2 ؍‬
Y
i
O 1

X

7.3. Dados los números complejos z ‫7 ؉ 5( ؍‬i) y z؅ ‫2 ؉ 3͙؊( ؍‬i), halla:
ෆ
a) z ؉ z؅

c) z ؒ z؅ؒ z

b) z ؊ z؅

؊1

e) 2z ؊ 5 ෆ
z
f) z ؒ z؅

d) z؅

a) z ϩ zЈ ϭ (5 ϩ 7i) ϩ (Ϫ͙3 ϩ 2i) ϭ 5 Ϫ
ෆ

ෆ
͙3

ϩ 9i

b) z Ϫ zЈ ϭ (5 ϩ 7i) Ϫ (Ϫ͙3 ϩ 2i) ϭ 5 ϩ
ෆ

ෆ
͙3

ϩ 5i

c) z и zЈ и z ϭ [Ϫ5͙3 Ϫ 14 ϩ (10 Ϫ 7͙3)i] (5 ϩ 7i) ϭ 24͙3 Ϫ 140 Ϫ (70͙3 ϩ 48)i
ෆ
ෆ
ෆ
ෆ
1
1
Ϫ͙ෆ Ϫ 2i
3
Ϫ͙3 Ϫ 2i
ෆ
d) zЈϪ1 ϭ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ
zЈ
3 ϩ 4
7
Ϫ͙3 ϩ 2i
ෆ
e) 2z Ϫ 5 z ϭ 2(5 ϩ 7i) Ϫ 5(5 Ϫ7i) ϭ Ϫ15 ϩ 49i
ෆ
f) z и zЈ ϭ (5 ϩ 7i) (Ϫ͙3 ϩ 2i) ϭ Ϫ 5͙3 Ϫ 14 ϩ (10 Ϫ 7͙3)i
ෆ
ෆ
ෆ
7.4. Calcula m y n para que sea cierta la igualdad: (3m ؉ 2i) ؊ (5 ؊ 2ni) ‫6 ؊ 2 ؍‬i
(3m ϩ 2i) Ϫ (5 Ϫ 2ni) ϭ 3m Ϫ 5 ϩ (2 ϩ 2n)i ϭ 2 Ϫ 6i

Ά

7
m ϭ ᎏᎏ
3m Ϫ 5 ϭ 2
3m ϭ 7
3
⇒
⇒
2 ϩ 2n ϭ Ϫ6
2n ϭ Ϫ8
n ϭ Ϫ4

Ά

7.5. Efectúa las siguientes operaciones con números complejos:
3͙ෆ
3
΂—2— ؉ —3—i ΃2

؊4 ؉ 5i
a) ——
؊2 ؉ i

c) i 1353

e)

i7 ؊ i؊7
b) ——
2i

d) (1 ؊ 2i)5

f) (3 ؉ ෆ)؊2
ෆ
i

3

(Ϫ4 ϩ 5i)(Ϫ2 Ϫ i)
Ϫ4 ϩ 5i
13
6
a) ᎏᎏ ϭ ᎏᎏᎏ ϭ ᎏᎏ Ϫ ᎏᎏ i
(Ϫ2 ϩ i)(Ϫ2 Ϫ i)
Ϫ2 ϩ i
5
5
1
1
Ϫi ϩ ᎏᎏ
i 3 Ϫ ᎏ3
ᎏ
2
i7 Ϫ iϪ7
Ϫi 2 ϩ 1
i
i
b) ᎏᎏ ϭ ᎏ ϭ ᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ Ϫ1
2i
2i
2i 2
Ϫ2
2i
c) i 1353 ϭ i 4 и 338 ϩ 1 ϭ i
d) (1 Ϫ 2i)5 ϭ 15 Ϫ 5 и 2i ϩ 10 и (2i)2 Ϫ 10 и (2i)3ϩ 5 и (2i)4 Ϫ (2i)5 ϭ 1 Ϫ 10i Ϫ 40 ϩ 80i ϩ 80 Ϫ 32i ϭ
ϭ 41 ϩ 38i

΂

΃ ΂ ΃

3͙ෆ
3
3i
e) ᎏᎏ ϩ ᎏᎏ
2
2

3

3͙ෆ
3
ϭ ᎏᎏ
2

3

΂ ΃

81
243
81
27
216
3
3
΂ ΃ ΂ ΃ ϭ ᎏ8ᎏ͙ෆ ϩ ᎏ8ᎏ i Ϫ ᎏ8ᎏ͙ෆ Ϫ ᎏ8ᎏ i ϭ ᎏ8ᎏ i ϭ 27i

3͙ෆ 3i
3
3͙ෆ 3i
3
ϩ 3 ᎏᎏ ᎏᎏ ϩ 3ᎏᎏ ᎏᎏ
2
2
2
2
2

2

3i
ϩ ᎏᎏ
2

1
1
8 ϩ 6i
2
3
ෆ
ෆ
ᎏ ϭ ᎏᎏ ϩ ᎏᎏ i
f) (3 ϩ i )Ϫ2 ϭ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ ᎏ
(3 Ϫ i)2
8 Ϫ6i
64 ϩ 36
25
50

3

Solucionario
7.6. Escribe de todas las formas posibles los siguientes números complejos.
a) i

c) 2 (cos 120؇ ؉ i sen 120؇)

b) 4315؇

2
2
͙ෆ ͙ෆ
d) ؊—— ؊ —— i
2
2

a) i ϭ 190Њ ϭ 1(cos 90Њ ϩ i sen 90Њ)
b) 4315Њ ϭ 4 (cos 315° ϩ i sen 315°) ϭ 2͙2 Ϫ 2͙2i
ෆ
ෆ
c) 2(cos 120Њ ϩ i sen 120Њ) ϭ Ϫ1 ϩ
2
ෆ
͙ෆ ͙2
d) z ϭ Ϫ ᎏᎏ Ϫ ᎏᎏ i;
2
2

͉z ͉ ϭ

ෆ
͙3i ϭ2120Њ

͙ෆ
΂ ෆ΃
Ί΂๶΃๶͙๶
2
ᎏᎏ
2

2

2
ϩ ᎏᎏ
2

2

ϭ 1; arg z ϭ 225Њ z ϭ 1225Њ ϭ cos 225Њ ϩ i sen 225Њ

7.7. Dados los números complejos z1 ‫3 ؉ 3͙3؊ ؍‬i, z2 ‫؊ ؍‬i y z3 ‫ ؊ 1؊ ؍‬i
ෆ
a) Pasa a forma trigonométrica y polar cada uno de los números complejos anteriores.
b) Calcula z ‫ ؍‬z1 ؒ z2 ؒ z3. Expresa en forma trigonométrica y polar el número complejo z.
Calculamos el...