Ejercicios de algebra lineal

FACULTAD DE INGENIERÍA DPTO. DE MATEMÁTICASÁlgebra Lineal FMM113

Pauta Solemne N◦2
1. Sea S ⊆

R4 dado por:
        −2 0 0  x−1      −2  x − 1  0   0   , , ,  S=  0   0  x − 1  −2       0 0 −2 x−1

a) Encuentre los valores de x para que el conjunto S sea linealmente dependiente. b) Para x = 3 pruebe que (1, 2, 3, 4) ∈ S y que (1, −1, 1, −1) ∈S . Donde S es / el subespacio vectorial generado por el conjunto S. a) Una forma de resolver este problema es calculando los valores para los cuales el determinante es 0. El determinante esta dado por: x − 1 −2 0 0 −2 x − 1 0 0 0 0 x − 2 −2 0 0 −2 x − 2 x − 1 −2 −2 x − 1 x − 1 −2 −2 x − 1

=

= ((x−1)2 −4)2

= (x − 2x − 3)2 = ((x − 3)(x + 1))2 = 0 Luego para que el conjunto sea l.d setiene que ((x − 3)(x + 1))2 debe ser nulo, es decir x = 3 o x = −1. b) Notando que para x = 3  conjunto S es l.d, extraemos una base de S . esta   el  0   2        −2  0  base puede ser   ,   . 2   0     0 −2 Luego para probar que un elemento esta en S debemos escribirlo como combinación lineal de los elemntos de la base. En nuestro caso:       1 2 0 −1 1 −2 1 0   =  +    1  2 0  2 2  0 −2 −1 Ahora si (1, 2, 3, 4) ∈ S entonces existen reales α y β tal que:       1 2 0 −2 0 2   = α +β  3 0 2 0 −2 4 1

De la primera fila obtenemos que α = 1/2 y de la segunda α = −1 lo que es un contradicción. Luego (1, 2, 3, 4) ∈ S / 2. Sean las rectas     x 1 L1 : y  = α 1 , α ∈ z 3       x 3 −1 y  = −1 + β  1 , β ∈ L2 : z 5 −1

R

R

(i) Calcule el punto P de intersección entre L1 y L2 . (ii) Encuentre la ecuación cartesiana de plano Π1 perpendicular a L1 y que pasa por el origen. (iii) Pruebe que la proyección del punto P sobre el plano Π1 es el punto R = (0, 0, 0). (iv) Pruebe que la proyección del punto R sobre la recta L2 es el punto Q = (0, 2, 2). (v) Encuentre la ecuación vectorial delplano que contiene a los puntos P, R y Q. (i) Para calcular el punto de intersección igualamaos las ecuaciones:       1 3 −1 1 = −1 + β  1  α 3 5 −1 de donde se obtiene el sistema: α + β = 3 α − β = −1 3α + β = 5 Lo resolvemos usando Gauss:       1 1 3 1 1 3 1 1 3  1 −1 −1  →  0 −2 −4  →  0 −2 −4  3 1 5 0 −2 −4 0 0 0 Luego −2β = −4, lo que implica β = 2. Reemplazando en laecuación de L2 obtenemos que el punto de intersección es:       3 −1 1 −1 + 2  1  = 1 5 −1 3 (ii) Para que el plano sea perperdicular a la recta entonces su vector normal debe ser paraleo al director de la recta. Como el plano pasa por el origen tenemos que la ecuación de Π1 esta dada por x + y + 3z = 0. 2

(iii) Utilizando la formula de la proyección con el origen como punto del planose tiene que:               1 0−1 1 1 0 1 1 1  −11     0 − 1 , 1 1 = 1 + 1 = 0 R = 1 + 11 11 3 0−3 3 3 0 3 3 (iv) Utilizando la formula de la proyección sobre una recta con el punto (3, −1, 5) como punto de la recta obtenemos:               0−3 −1 −1 0 3 −1 3 −1 + 1 0 + 1 ,  1   1  = −1 + 9  1  = 2 Q= 3 3 0−5 −1 −1 2 5 −1 5 (v) Tomando comovector posición el vector R y calculamos los directores como P −R y Q − R la ecuación nos queda:       x 1 0 y  = α 1 + β 0 , α, β ∈ z 3 2

R

3. Sea W = {p(x) ∈ P3 ( ) : p(1) = p (1) = 0} donde p (1) es la derivada de p evaluada en 1 y P3 ( ) es el espacio de los polinomios de grado menor o igual a 3 con la suma y producto usuales.

R

R

a) Pruebe que W es un s.e.v. de P3 (). b) Encuentre una base B de W y la dimensión de W . c) Complete la base B de la parte anterior para que sea una base de P3 ( ). a) Sean p(x), q(x) ∈ W . Esto implica que p(1) = q(1) = 0 y que p (1) = q (1) = 0 Sea h(x) = p(x)+λq(x) con λ ∈ . Probemos que h(x) ∈ W . Calculemos primero h(1): h(1) = p(1) + λq(1) = 0 + 0 = 0

R

R

R

Por otro lado como la derivada de la suma es la suma de...