Ejercicios De Algebra

1)
a) T: R R
T(x) = C.x
Sean u,v,a pertenecientes a R. Veamos que
T(a.u + v) = a.T(u) + T(v)
T(a.u + v) = C.(a.u + v)
= C.a.u + C.v= a.C.u + C.v
= a.T(u) + T(v). (Si es transformación lineal)
c) T: R2 R2
T(x,y) = (-x,y)
Sean U=(u1,u2), V=(v1,v2) pertenecientes a R2 y a perteneciente a R.Veamos que
T(a.U + V) = a.T(U) + T(V)
T(a.U + V)= T(a.(u1, u2) + (v1, v2))
= T((a.u1, a.u2) + (v1, v2))
= T(a.u1 + v1, a.u2 + v2)
= (-a.u1– v1, a.u2 + v2)
= (-a.u1, a.u2) + (-v1, v2)
=a.(-u1, u2) + (-v1, v2)
= a.T(U) + T(V). (Si es transformación lineal)
e) T:MmnMnm
T(A)= At
Sean A,B matrices de orden mxn y C perteneciente a R. Veamos que
T(C.A + B) = C.T(A) + T(B)
T(C.A + B) = (C.A + B)t
=(C.A)t + Bt (Por propiedades de latraspuesta)
= C.At + Bt
= C.T(A) + T(B). (Si es transformación lineal)
g) T:R2 R2
T(x,y)=(x,0)
Sean U=(u1,u2), V=(v1,v2) pertenecientes a R2 y aperteneciente a R. Veamos que
T(a.U + V) = a.T(U) + T(V)
T(a.U + V)= T(a.(u1, u2) + (v1, v2))
= T((a.u1, a.u2) + (v1, v2))
= T(a.u1 + v1, a.u2 + v2)= (a.u1 + v1, 0)
=(a.u1 + v1, 0 + 0)
=(a.u1, 0) + (v1, 0)
=a.(u1, 0) + (v1,0)
= a.T(U) + T(V). (Si es transformaciónlineal)
i) T: R2 R
T(x,y)=x.y
Sean U=(u1,u2), V=(v1,v2) pertenecientes a R2 y a perteneciente a R. Veamos que
T(a.U + V) = a.T(U) + T(V)
T(a.U + V)= T(a.(u1,u2) + (v1, v2))
= T((a.u1, a.u2) + (v1, v2))
= T(a.u1 + v1, a.u2 + v2)
= (a.u1 + v1).(a.u2 + v2)
=a2.u1.u2 + a.u1.v2 +...