Ejercicios de análisis complejo

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Ejercicios Analisis Complejo

1 Ejercicio 1

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Ejercicio 1

´
Vamos a ver que los operadores X y P son operadores cuyo dominio de definicion no es todo H, siendo H el
´
espacio de lasfunciones de cuadrado integrable, L2 . Vamos a centrar la demostracion en la coordenada
x de los operadores X y P, pero las funciones que damos pueden emplearse para extender la prueba al
resto decoordenadas, realizando el mismo proceso que para la coordenada x.

1.1

Operador X

´
Sea D (x ) el dominio de definicion de X . Queremos encontrar un conjunto de elementos de D (x ) tal que
´su norma sea menor o igual que 1, pero su imagen por X no est´ acotada. Por hipotesis, consideramos
e
D (x ) ⊂ L2 (R2 ).
´
Sean {fn }∞=1 , sucesion de funciones continuas, a saber,
n


 (e−x/(n +1) − e −x/n )(e −y/(n +1) − e −y/n )(e −z/(n +1) − e −z/n ) si x, y, z ≥ 0


fn = 
0 en cualquier otro caso


(1)

Primero veamos que fn ∈ D (x ), es decir,

• fn ∈ L2 ⇒ fn

2=

R3

|fn (x )|2 d 3 x < +∞

• Xfn ∈ L2
Usamos que

∞
0

e −ax dx =

n!
.
a n +1

∞

fn

2

=

|fn (x )|2 d 3 x =
R3

Con ello, tenemos que,
∞

(e −x/(n +1) − e −x/n)dx

0

∞

(e −y/(n +1) − e −y/n )dy

0

(e −z/(n +1) − e −z/n )dz =

0

∞

=

(e −x/(n +1) − e −x/n )dx

3

= [(n + 1) − n ]3 = 1

0

´
Y ahora Xfn (e igualmente sucederapara las otras coordenadas):
∞

Xfn

2

=
0

∞

x 2 (e −x/(n +1) − e −x/n )dx

∞

(e −y/(n +1) − e −y/n )dy

0

(e −z/(n +1) − e −z/n )dz =

0

= 2!(n + 1)3 − 2!n 3 = 2 (n + 1)3− n 3
´
X pues, no es acotado, con lo que vemos que no todas las funciones de cuadrado integrable estan en
el dominio de X .

1.2

Operador P

En lo que sigue, seguiremos la bibliograf´a yabreviaremos ‘‘casi en todo lugar’’ por ‘‘a.e.’’
ı
everywhere).
´
Sea f ∈ D (Px ), tenemos que la accion del operador Px es Px f =
D (Px ) = f (x ) ∈ L2 /∃
Sea fn (x ) = e −n |x | e −n |y| e...