Ejercicios De Calculo I (Integral)

´ Pontificia Universidad Catolica de Chile
´ Facultad de Matematicas

Problemas Resueltos

MAT1620 – C´lculo II a

Sebasti´n Urrutia Quiroga a sgurruti@uc.cl Versi´n 1.0 o

25 de junio de 2012

´ Indice
1. Aplicaciones de la Integral 1.1. C´lculo de areas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a ´ 1.2. Vol´ menes por secciones transversales .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . u 1.3. S´lidos de revoluci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o o 1.4. Centroide de regiones planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5. Longitud de arcos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6. Superficies de revoluci´n . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 1.7. Coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8. Ap´ndice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 2. Integrales Impropias 2.1. Integrales impropias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.Ap´ndice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 3. Series 3.1. Series de t´rminos positivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 3.2. Series alternantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 3.4. Ap´ndice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 4. Geometr´ Vectorial ıa 4.1. Vectores geom´tricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 4.2. Productos vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Rectas y planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Geometr´ Diferencial ıa 2 2 9 11 18 20 21 23 31 34 34 44 46 46 57 62 80 84 84 88 93 103

5.1. Curvas y sus propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

–1–

1.
1.1.

Aplicaciones de la Integral
C´lculo de ´reas a a
1 0 1

(1) Sea f continua, creciente, con f (0) = 0, f (1) = 1 y f −1 (y)dy
0

1f (x)dx = . Calcule 3

Soluci´n: o Es posible obtener la soluci´n al problema de manera geom´trica, dado que la funci´n f es continua o e o y creciente (por lo que posee inversa) con f (0) = 0 y f (1) = 1. Entonces, f es de la forma: y
1

f −1 f

1

x

Si trazamos la funci´n inversa en el gr´fico se deduce que o a
1

f −1 (y)dy =
0

2 3

Determinemos ahora la soluci´n de maneraformal, realizando el cambio de variables y = f (x), dy = o f (x)dx. As´ ı,
1 1 1

f
0

−1

(y)dy =
0

f

−1

(f (x))f (x)dx =
0

xf (x)dx

Integrando por partes, tomando u = x y dv = f (x)dx entonces du = dx y v = f (x), se obtiene
1 1 1 1 0

f
0

−1

(y)dy =
0

xf (x)dx = xf (x) −
0

f (x)dx = 1 −

1 2 = 3 3

–2–

(2) Demostrar que la par´bola de ecuaci´n8y 2 = 9x divide el area de la regi´n plana encerrada por la a o ´ o 2 2 elipse de ecuaci´n 3x + 4y = 3 en la raz´n: o o √ 3 + 4π 3 r= √ 8π 3 − 3 Soluci´n: o Lo primero que haremos ser´ reescribir la ecuaci´n de la elipse de una manera m´s conveniente: a o a y2 3x2 + 4y 2 = 3 ←→ x2 + =1 3 4 elipse de semiejes a = 1 y b = √ 3 2

Ahora, buscamos los puntos de intersecci´n entre la elipse y lapar´bola: o a 9 y2 = x 8 9x 1 −→ x2 + = 1 −→ x1 = 2 ∧ x2 = −2 6 y2 x2 + =1 3/4
3 La soluci´n correcta (¿por qu´?) es x = 1 , que posee dos im´genes: y = ± 4 . Es decir, los puntos de o e a 2 intersecci´n de las curvas son: o

P1 = Gr´ficamente, a

1 3 , 2 4

,

P2 =

1 3 ,− 2 4

–3–

Calculemos el area entre la elipse y la par´bola: ´ a σ1 = 2
1 9x dx + 2 8 1/2 0 1 √ √ 1 = + 3 1 −...