Ejercicios de cinemática inversa

Instituto Tecnológico de Celaya
Departamento de Ingeniería Mecatrónica
Robótica
Tarea: Cinemática Inversa y Desacoplamiento cinemático.

Aguilar Regalado Juan Manuel. manu_ar_rt@hotmail.com
Galván Mandujano Juan José. ba_rc_el_ona08@hotmail.com
Hernández Figueroa Carlos Fernando. karlozfernando@hotmail.com
Hernández Calderón Héctor


-Ejercicio 1
Encontrar la cinemática inversapara el robot del tipo esferico representado por la diagrama de alambre de la figura 1.

Figura 1. Diagrama de alambre para un robot esferico.

Desarrollo
El objetivo es obtener, a partir de una posición denotada por P(Px,Py,Pz) con respecto a un marco fijo u origen, las expresiones en función de las variables que conforman la posicion del manipulador.
Primeramente se definen los ángulos ydimensiones variables del robot; para este ejercicio: θ1, θ2, y b1 .
Como herramienta de apoyo es posible usar planos de distintas perspectivas como se muestra en la figura 2, donde R es la direccion proyectada sobre el plano XY del manipulador.

Figura 2. Vistas del manipulador: a)superior, b)lateral.

De la trigonometría obtenemos las siguientes expresiones a partir de las vistas:

dondese obtiene:

usando el teorema de Pitagoras en el triangulo formado por los eslabones en la vista superior se tiene que:

y de la vista lateral tenemos que,

Tambien con el teorema de Pitagoras aplicado en la vista lateral encontramos la siguiente relación:

-Ejercicio 2.
Encontrar la cinemática inversa para el robot SCARA del laboratorio de Mecatronica (Figura 3).

Figura 3. RobotSCARA Jupiter XL de AMATROL.

Desarrollo
Para simplificar el proceso se recurre a un diagrama de alambre del robot (Figura 4), con las dimensiones expresadas por L1, L2, L3, B4 y los angulos de las revolutas como θ1, θ2, y θ3.

Figura 4.Diagrama de alambre del Robot SCARA Jupiter XL.


Siguiendo la misma metodología del ejercisio 2, con la figura 5 como herramienta para el calculo,

Figura5. Vistas del manipulador SCARA: a)superior, b)lateral.




Despejando b4 de la ecuación Pz:


Partiendo de este esquema se calculan los ángulos 1 y 2:




Despejando Cos(180-).

Sabiendo que:

Entonces tenemos que la tangente es igual a:

Sustituyendo nos queda:

Despejando 2 nos queda que:

Nota: no se sustituyen los valores de cos por cuestiones de que la ecuación seamuy extensa, se calculan por separado.
Para =β-α se necesita encontrar α:

Despejando cos α de la ecuación anterior nos queda:

Y sabiendo que:

Se obtiene la tangente para calcular el ángulo α:

Sustituyendo los valores del sen y el cos se despeja :

Nota: Aquí tampoco se sustituyen los valores ya que la ecuación sería muy extensa.
Ahora se procede a calcular el ángulo de β :Despejando seno y coseno de β:


Ahora se calcula la tangente con las ecuaciones anteriores:




Despajando β de la ecuación anterior se obtiene su ecuación:

Ahora que se tiene α y β se calcula 1:


Sin embargo esta metodología sencilla solo nos permite calcular los ángulos que intervienen en la posición. Otra manera para obtener la cinemática inversa es calcular la matriz detransformación del manipulador con ayuda de los parámetros de Denavit-Hartenberg. Esto nos permitirá utilizar la herramienta de desacoplamiento cinemático para así también obtener el ángulo θ3 que solo influye en la orientación del marco de referencia móvil del efector final. En la figura 6 se muestra el desacoplamiento en forma vectorial.


Figura 6. Vectores de posicion para el desacoplamientocinemático.

De la figura 6 tenemos que,

Por otro lado para conocer la orientación del vector S se requieren matrices de transformación para obtener la rotación. Los parámetros de Denavit-Hartenberg para el manipulador SCARA, se muestran en la tabla 1.
Tabla 1.Parametros del robot SCARA.
Eslabón
bi
θi
ai
αi
1
L1
θ1
L2
0°
2
0
θ2
L3
0°
3
B4
0°
0
180°
4
L5
θ3
0
0°

Para...