ejercicios de cordenadas polares resueltos

1.- Para el punto P de la figura, r = 3, = 60° para el punto Q, r = 5, = 240°, se tiene:

SOLUCIÓN



2.- Hallar la distancia entre los puntos A(7 , 30°) y B(9 , 85°).
SOLUCIÓN
Como seconocen dos lados y el ángulo que estos forman, el tercer lado se puede determinar mediante el teorema del coseno.
c2 = a2 + b2 -2ab cos , en nuestro caso:

d = 7.2 unidades

3.- Hallar la ecuación dela circunferencia en coordenadas polares de centro (r2 , 2) y radio a.

SOLUCIÓN
Aplicando la ley de los cosenos se tiene:
a2 = r22 + r12 - 2r22r12 cos (2 - 1) = r
r22 + r12 - 2r22r12 cos (2 -1) = r

4.- Hallar la ecuación de la circunferencia de centro (a , 0°) y radio a.

SOLUCIÓN
Se tiene = 0°. Del triángulo se deduce a2 = r2 + a2 - 2ra cos , reduciendo:
0 = r2 - 2ra cos
r2 =2ra cos
r = 2a cos

5.- Hallar el área del triángulo cuyos vértices son los puntos: B(0 , 0°), B(r1 , 1) y C(r2 , 2)

SOLUCIÓN

b = r

Por lo tanto
h = r2 sen(2 - 1)
Sustituyendo:6.- Hallar el área del triángulo cuyos vértices son los puntos: B(0 , 0°), C(6 , 25°), y D(9 , 55°).

SOLUCIÓN
Sustituyendo valores en la ecuación del área se obtiene:


7.- Hallar la ecuación dela recta que pasa por el punto (5 , 60° y es perpendicular al eje polar OA)

SOLUCIÓN
Sea (r , ) un punto cualquiera en la recta, consideramos los siguientes triángulos semejantes:

cos 30° =cos =
Por lo tanto
x = 5 cos 30° ...........1
x = r cos ...............2
Igualando las ecuaciones se tiene:
r cos = 5 cos 30°
r cos = 4.33

8.- Hallar la ecuación en coordenadas polares deuna recta paralela al eje polar OX, y situada por debajo de el a una distancia de 6 unidades.

SOLUCIÓN
Sea P(r , -) un punto cualquiera de la recta L. Se tiene
sen (-) =
r sen (-) = 6
0 = 6 + rsen (-)
por lo tanto la ecuación pedida es
6 + r sen (-) = 0

9.- Determinar las coordenadas rectangulares del punto (3 , 90°)
SOLUCIÓN
E l punto P(x , y) = P(r ,) = P(3 , 90°)
Se tiene
x =...