Ejercicios de derivada

Hoja 3: Aproximaciones a la integral

Definir la integral como el ´rea bajo un gr´fico nos enfrenta al problema de calcular
a
a
areas de diversos conjuntos del plano. En esta secci´n vamos a tratar de discutir un m´todo
´
o
e
bastante general para hacerlo. Consideraremos primero ejemplos muy simples, siempre sobre
el mismo intervalo [0, 1]. Luego generalizaremos los m´todos parafunciones cualesquiera en
e
intervalos cualesquiera.

1
1.1

Recorrido principal
Primeras aproximaciones a la integral de una funci´n cuadr´tica
o
a

Abordaremos el c´lculo de
a

1

x2 dx.

(1)

0

Y
y = x2

1

X
0

1

Figura 1
Aunque nos concentraremos en este ejemplo, los m´todos que emplearemos no dependen
e
2
de que el integrando sea x ni de que el intervalo detrabajo sea [0, 1]. Son generales y permitir´n extender el c´lculo integral a funciones cualesquiera, proporcionando un procedimiento
a
a
para tratar cualquier integral de la forma
b

f (x) dx.
a

Observaci´n 1.0.1 Estimaciones de la integral por encima y por debajo. Es
o
evidente que
1
0

x2 dx ≥ 0,

1

(2)

porque en el intervalo [0, 1] la funci´n x2 es siempre mayor oigual que cero y su gr´fico
o
a
est´ por encima del eje Ox. Nuestra definici´n de la integral como area signada implica
a
o
´
directamente la desigualdad (2), porque no hay que considerar ninguna regi´n bajo el eje Ox
o
que pueda aportar al c´lculo un sumando negativo.
a
Hay una estimaci´n superior del valor de la integral, que est´ impl´
o
a
ıcita en la figura 2.
Y
1

X
1

Figura 2.Primera aproximaci´n por exceso.
o
Luego de haber examinado la figura 2, seguramente el lector est´ de acuerdo en que
e
1
0

x2 dx ≤ 1.

Esta estimaci´n se obtiene comparando la regi´n cuya ´rea queremos estimar con la del
o
o
a
cuadrado [0, 1] × [0, 1] que la contiene.
´
Observaci´n 1.0.2 Intentos de aproximacion de la integral. En la observaci´n
o
o
1.0.1 encontramos un valorque necesariamente est´ por debajo y otro que necesariamente
a
est´ por encima, tomando rect´ngulos cuyas alturas son, respectivamente, el valor m´
a
a
ınimo
y el valor m´ximo que toma la funci´n en el intervalo [0, 1]. Estos valores son 0 y 1.
a
o
• El valor 0 da lugar a un “rect´ngulo” de base 1 y altura 0 que est´ completamente
a
a
2
contenido en la regi´n comprendida bajo el gr´ficode x . Esta figura en realidad se
o
a
reduce a un segmento de recta de ´rea nula.
a
• El valor 1 da lugar a un rect´ngulo de base 1 y altura 1 que contiene completamente
a
la regi´n comprendida bajo el gr´fico de x2 . Este rect´ngulo es adem´s un cuadrado,
o
a
a
a
y tiene ´rea 1.
a
De alg´ n modo nos hemos puesto en los casos extremos para la evaluaci´n de las areas.
u
o
´
Unaalternativa es tratar de aproximarse mejor, refinando la comparaci´n con rect´ngulos
o
a
y escogi´ndolos de modo que se vayan adaptando mejor a la regi´n del plano cuya area
e
o
´
queremos calcular. Una manera de hacerlo es dividir el intervalo [0, 1] en dos subintervalos
iguales [0, 1/2] y [1/2, 1], y usar estos subintervalos en la construcci´n de rect´ngulos que
o
a
nos permitan aproximarel ´rea por defecto y con exceso.
a
Para construir una aproximaci´n por defecto, usamos [0, 1/2] y [1/2, 1] como bases de
o
los rect´ngulos m´s altos que podamos construir por debajo del gr´fico de x2 , tal como se
a
a
a
2
muestra en la figura 3. Como en x = 0 la funci´n x toma el valor 0, el primer rect´ngulo
o
a
degenera en un segmento de ´rea nula.
a

2

Y
1

1
4

X
1
21

Figura 3. Primera aproximaci´n por defecto.
o
El segundo rect´gulo tiene altura
a
1
2

2

=

1
4

y base 1/2. De modo que el ´rea total encerrada en los dos rect´ngulos es
a
a
0+

1
1 1
× = ,
2 4
8

de modo que concluimos
1

1
≤
8

x2 dx.
0

Una estimaci´n superior para la integral puede obtenerse a partir de dos rect´ngulos cuya
o
a
2
uni´n...