ejercicios de estadistica

Problemas resueltos del Tema 3.
3.1- Si un estudiante responde al azar a un examen de 8 preguntas de verdadero o falso ¿Cual
es la probabilidad de que acierte 4? ¿Cual es la probabilidad de que acierte dos o menos?
¿Cual es la probabilidad de que acierte cinco o más? ¿Cuanto valen la media y la varianza del
número de preguntas acertadas?
Solución.
La distribución del número de aciertos seráuna distribución Binomial de parámetros n
= 8 y p = 1/2, en consecuencia:
Pr(x = ) = , , ,
æ
è ç
ö
ø ÷
4 × × = =
8
4
0 5 0 5
70
256
4 4 0 273
Para resolver los dos apartados siguientes calculamos previamente
Pr(x = ) = , , ,
æ
è ç
ö
ø ÷
0 × × = =
8
0
0 5 0 5
1
256
0 8 0 004
Pr(x= ) = , , ,
æ
è ç
ö
ø ÷
1 × × = =
8
1
0 5 0 5
8
256
1 7 0 031
Pr(x = ) = , , ,
æè ç
ö
ø ÷
2 × × = =
8
2
0 5 0 5
28
256
2 6 0 109
Pr(x= ) = , , ,
æ
è ç
ö
ø ÷
3 × × = =
8
3
0 5 0 5
56
256
3 5 0 219
en consecuencia
Pr(x£ 2) = Pr(x = 0) + Pr(x = 1) + Pr(x = 2) = 0,004 + 0,031+ 0,109 = 0,144
Pr(x ³ 5) = 1- Pr(x £ 4) = 1- (0,004 + 0,031+ 0,109 + 0,219 + 0,273) = 0,364
La media y la varianza se obtienen aplicando la expresión obtenida de forma generalpara la media y la varianza de una distribución Binomial:
E[x] = n · p = 8 · 0,5 = 4 y Var[x] = n · p · q = 8 · 0,5 · 0,5 = 2
3.2- En una población en la que hay un 40% de hombres y un 60% de mujeres seleccionamos
4 individuos ¿Cual es la probabilidad de que haya 2 hombres y 2 mujeres? ¿Cual es la
probabilidad de que haya más mujeres que hombres?
10 Problemas de Análisis de Datos. José M.Salinas
Solución.
El número de hombres en la muestra sigue una distribución Binomial de parámetros n
= 4 y p = 0,4. Entonces para calcular la probabilidad de que haya 2 hombres y 2 mujeres en
la muestra, basta calcular la probabilidad de que haya dos hombres en la misma.
Pr(x= ) = , , , , ,
æ
è ç
ö
ø ÷
2 × × = × × =
4
2
0 4 2 0 62 6 0 16 0 36 0 3456
Para que haya más mujeres que hombres enla muestra, el número de estos tiene que
ser menor que 2, luego la probabilidad será:
Pr(x< ) = Pr(x = ) + Pr(x = ) = , , , , ,
æ
è ç
ö
ø ÷
× × +
æ
è ç
ö
ø ÷
2 0 1 × × =
4
0
0 4 0 6
4
1
0 4 0 41 0 63 0 4752
3.3- Sabiendo que la variable Z sigue una distribución Normal cero, uno, calcule las siguientes
Probabilidades:
P(Z £ 0,93) P(Z £ 1,68) P(Z £ -2,27) P(Z £ -0,27)
P(Z >0,62) P(Z > 2,05) P(Z > -1,07) P(Z > -3,39)
P(0,56 < Z £ 2,80) P(-2,81 < Z £ -0,33) P(-0,85 < Z £ 0,72)
Solución.
Los ejercicios de la primera fila se resuelven buscando directamente en las tablas de la
distribución Normal, donde se obtienen los siguientes valores:
P(Z £ 0,93) = 0,8238 P(Z £ 1,68) = 0,9535 P(Z £ -2,27) = 0,0116
P(Z £ -0,27) = 0,3936
Para resolver los ejercicios de la segundafila se recurre a calcular la probabilidad del
suceso contrario:
P(Z > 0,62) = 1 - P(Z £ 0,62) = 1 - 0,7324 = 0,2676
y de forma análoga se obtiene:
P(Z > 2,05) = 0,0202 P(Z > -1,07) = 0,8577 P(Z > -3,39) = 0,9996
En la tercera fila se pide calcular la probabilidad de una serie de intervalos, para ello
debe recordarse que la probabilidad de un intervalo es igual al valor de la Función deDistribución para el extremo superior menos el valor de la Función de Distribución para el
extremo inferior, es decir:
P(0,56 < Z £ 2,80) = P(Z £ 2,80) - P(Z £ 0,56) = 0,9974 - 0,7123 = 0,2851
Terma 3. Distribuciones. 11
y para los otros dos intervalos sería:
P(-2,81 < Z £ -0,33) = 0,3707 - 0,0025 = 0,3682 P(-0,85 < Z £ 0,72) = 0,5665
3.4- Siendo Z una N(0,1), calcule los valores de la variableque verifican las siguientes
condiciones:
P(Z £ z) = 0,70 P(Z £ z) = 0,90 P(Z £ z) = 0,35 P(Z £ z) = 0,05
P(Z > z) = 0,25 P(Z > z) = 0,05 P(Z > z) = 0,85 P(Z > z) = 0,69
P(-z < Z £ z) = 0,90 P(-z < Z £ z) = 0,60
Solución.
Los ejercicios de la primera fila se resuelven buscando en las tablas de la Normal el
valor más próximo a la probabilidad pedida y viendo a que valor de la variable...