Ejercicios De Gauss Y Potencial Eléctrico

Electromagnetismo

Pedagogía en Física

R. Lagos.

PROBLEMAS RESUELTOS
1.

Una esfera de radia 4[m] está hecha de un material no conductor que tiene una
;8 [ ⁄ 3 ].
densidad de carga volumétrica uniforme
7
m
Una cavidad
esférica de radio 2[m] se separa después de la esfera, como se indica en la figura.
Determine el campo eléctrico dentro de la cavidad.
ANÁLISIS Y FORMULA A USAR

DATOS
R= 4 [m]
a= 2 [m]
ρ
.7 ∙
ε0 8.85 ∙

Φ
;7 [

⁄m3 ]

;12 [ 2 ⁄

Nm2 ]

𝐸 ∙ 𝑑𝑠

𝑞0
ε0

El campo eléctrico en la concavidad, será la diferencia entre el
campo eléctrico de dos esfera de radio R y a.
De la relación de densidad de carga volumétrica:
𝑞0 𝜌 ∙ 𝑣
Si el campo es constante:
𝑞0
𝐸∙𝑠
ε0
𝐸1 ∙ 𝑆
Remplazamos q:
𝐸1 ∙ 4𝜋𝑅2

𝑞0
ε0
𝜌 ∙ 4𝜋𝑅3
3ε0

𝜌𝑅
3ε0
Realizamos el mismo procedimiento anterior, pero ahora parauna
esfera de radio a, entonces el campo eléctrico es:
𝐸1

𝐸2

𝜌𝑎
3ε0

El campo final es:
𝐸𝑓

𝐸𝑓

RESULTADO
. 3 ∙ 4 [𝑁⁄𝐶 ]

𝐸1 − 𝐸2

Electromagnetismo

Pedagogía en Física

R. Lagos.

La figura muestra una carga puntual
6[n ] en el centro de una cavidad
esférica de 3.66 [cm] de radio en un trozo de metal. Use la ley de Gauss para hallar
el campo eléctrico (a) en el punto P1, en un punto medioentre el centro y la
superficie, y (b) en el punto P2.

2.

q = . 6∙
R = 3.66 ∙
ε0 8.85 ∙

DATOS
;7 [𝐶]
;2 [𝑚]
;12 [ 2 ⁄
Nm2 ]

ANÁLISIS Y FORMULAS A USAR
Φ

𝐸 ∙ 𝑑𝑠

𝑞0
ε0

a) Encerramos la carga en una esfera de radio R/2.
Entonces:

𝑞
ε0
Como el campo eléctrico es constante.
𝑞
𝐸1 ∙ 𝑠
ε0
𝑞
𝐸1
ε0 ∙ 4𝜋 𝑅 ⁄
𝐸 ∙ 𝑑𝑠

2

b) El campo eléctrico en un conductor vale cero por toda la
superficie gaussiana:

𝐸13.

RESULTADO
3.38 ∙ 6 [𝑁⁄𝐶 ]
[𝑁⁄𝐶 ]
𝐸2

a) Calcule la rapidez de un protón que es acelerado desde el reposo a través de una
diferencia de potencial de 120 [V]. b) Calcule la rapidez de un electrón que se
acelera a través de la misma diferencia de potencial.
DATOS

𝑞
𝑚𝑝
𝑚𝑒
∆𝑉

ANÁLISIS Y FORMULAS A USAR

.6 ∙ ;19 [𝐶]
.67 ∙ ;27 [𝑘𝑔]
9. ∙ ;31 [𝑘𝑔]
[𝑉]

𝑊
𝑞
a) Para obtener la rapidez de propagacióndel protón,
utilizaremos la relación entre el trabajo y la energía
cinética.
𝑊 ∆𝐾
Si consideremos que la partícula parte el reposo, 𝑣0
entonces:
∆𝑉

,

𝑚𝑝 𝑣𝑝 2 − 𝑚𝑝 𝑣0 2

𝑞 ∙ ∆𝑉
𝑣𝑝

∙ 𝑞 ∙ ∆𝑉
𝑚𝑝

b) Realizamos el mismo procedimiento, pero con la masa
del electrón.

𝑣𝑝
𝑣𝑒

RESULTADO
.5 ∙ 5 [𝑚⁄𝑠]
6.49 ∙ 6 [𝑚⁄𝑠]

Electromagnetismo

4.

Pedagogía en Física

R. Lagos.

En el rectángulo de la figura,los lados tienen las longitudes de 5 [cm] y 15 [cm],
−5. [ ] y 2
. [ ]. a) ¿Cuáles son los potenciales eléctricos en los
1
vértices B y A? (Suponga que V = 0 en el infinito). b) ¿Cuánto trabajo se requiere
para mover una tercera carga 3 3. [ ] de B a A a lo largo de una diagonal del
rectángulo?
DATOS

ANÁLISIS Y FORMULAS A USAR

−5 ∙ ;6 [ ]
∙ ;6 [ ]
2
3 ∙ ;6 [ ]
3
r1 = 0.15 [m]
r2 = 0.05 [m]
K = 9.0· 109 [ N m2 /C2]
1

∆V

𝑘

𝑞𝑖
𝑟𝑖

; ∆V

𝑊
𝑞

El potencial eléctrico en el punto A, debido a las cargas
es:
𝑞1 𝑞2
V𝐴 k
+
𝑟1 𝑟2
y en B:
𝑞1 𝑞2
+
𝑟2 𝑟1
b) Para halar el trabajo para mover una tercera carga
hacemos una diferencia entre los potenciales A y B.
V𝐵

𝑊

RESULTADO
a)

VA
VB

5.99 ∙
−7.8 ∙

b) W

4 [V]

.5[J]

5 [V]

k

V𝐴 − V𝐵 ∙ 𝑞3

Electromagnetismo

5.

Pedagogía en Física

R. Lagos.Una carga cuya densidad lineal está determinada por λ = β x, donde β es una
constante positiva, está distribuida sobre una varilla delgada de longitud L que se
encuentra sobre el eje x con uno de sus extremos en el origen, con se ilustra en la
figura. Calcule el potencial eléctrico en los puntos A y B.
DATOS
k, β, L, d.

ANÁLISIS Y FORMULA A USAR
𝑘 ∙ 𝑑𝑞
𝑟
a) Tomaremos un pequeño segmento de labarra, que
llamaremos dx, el cual tendrá una pequeña carga dq, entonces:
𝑘 ∙ 𝑑𝑞
dV
𝑑+𝑥
dV

como la barra tiene una densidad lineal, podemos dejar la
carga en función de su densidad lineal.
𝜆 ∙ 𝑑𝑥

.

Por lo tanto el dq nos queda:
𝑑𝑞 𝛽𝑥𝑑𝑥

.

Pero: 𝜆

𝑑𝑞

𝛽𝑥

Remplazamos (2.1) en (1)
𝐿

𝑉
0

𝐿

𝑘 ∙ 𝛽𝑥𝑑𝑥
𝑑+𝑥

𝑘𝛽

−
0

𝑑
𝑑𝑥
𝑑+𝑥

b) La distancia donde se quiere medir el potencial eléctrico,
será la...