EJERCICIOS DE INTEGRALES

INTEGRALES DOBLES SOBRE REGIONES GENERALES.

6. En la integral doble

f (x, y) dxdy, colocar los l´
ımites de integraci´n en ambos
o
D

o
´rdenes, para los siguientes recintos:
i) trapecio de v´rtices (0, 0), (1, 0), (1, 2) y (0, 1).
e
ii) segmento parab´lico y = x2 , y = 1.
o
iii) c´
ırculo x2 + y 2 ≤ 1.
iv) c´
ırculo x2 + y 2 ≤ y.

Soluci´n
o
Si dibujamos las gr´ficas ydespejamos cada una de las variables con respecto a la otra,
a
tenemos:
1

i) I =

x+1

dx

1

f (x, y) dy =

0

0

0

1

1

ii) I =

dx
x2

0

√

1

iii) I =

dx
−1

dy

f (x, y) dx.

1

dy
−1

iv) I =

dx
−1/2

√
(1− 1−4x2 )/2

1−y 2

√

−

f (x, y) dx.
1−y 2

√

√
(1+ 1−4x2 )/2

1/2

f (x, y) dx.
y−1

y

√
− y

f (x,y) dy =

1

dy
1

√

1−x2

√
− 1−x2

2

f (x, y) dx +
0
√

1

f (x, y) dy =

−1

1

dy

1

f (x, y) dy =

dy
0

y−y 2

√

−

f (x, y) dx.
y−y 2

7. Cambiar el orden de integraci´n en las integrales siguientes:
o
√

3

a)

25−x2

f (x, y) dy.

dx
0

4x/3

2

b)

2−x

dx
−6

−1

√

2

c)

f (x, y) dy.

x2
4

2x−x2dx
1

f (x, y) dy.
2−x

e

d)

ln x

dx
1

√

2a

dx

e)
0

f (x, y) dy.
0

√

2ax

f (x, y) dy, a > 0.
2ax−x2

1

x3

2

dx

f)
1

8

8

x

2

x

f (x, y) dy.

dx

f (x, y) dy +

Soluci´n
o
a) La regi´n de integraci´n, indicada en la figura, es la que verifica el sistema
o
o
25 − x2 .

0 ≤ x ≤ 3, 4x/3 ≤ y ≤

4

3

Como elpunto (3, 4) es la intersecci´n entre la circunferencia y la recta, la nueva integral
o
se escribir´ como
a
√

3

4

f (x, y) dy =

dx
0

√

25−x2

4x/3

3y/4

dy
0

5

f (x, y) dx +
0

25−y 2

f (x, y) dx.

dy
0

4

b) Se trata de la regi´n comprendida entre la par´bola y = x2 /4 − 1 y la recta y = 2 − x.
o
a

8

2
-6

2

Al invertir el orden deintegraci´n, la integral se descompone as´
o
ı:
√
2 y+1

0

I=

dy
−1

8

√
−2 y+1

f (x, y) dx +

2−y

dy
0

√
−2 y+1

f (x, y) dx.

c) La regi´n de integraci´n es el segmento de circunferencia (x − 1)2 + y 2 = 1 limitado por
o
o
la recta x + y = 2. La integral se puede escribir como:
√ 2
1

I=

1+

dy
0

1−y

f (x, y) dx.
2−y

2

d) Parainvertir el orden de integraci´n, basta despejar x en la ecuaci´n y = ln x. Tenemos
o
o
as´
ı:
e

1

f (x, y) dx.

dy

I=

ey

0

e) Si observamos la regi´n de integraci´n, al cambiar el orden de integraci´n debemos
o
o
o
descomponer la integral en tres sumandos:

2a
a

a

√
a

a−

I=

dy

a2 −y 2

a

2a

f dx +
y 2 /2a

0

2a

2a

√
0

a+

fdx +
a2 −y 2

2a

dy
a

f dx.
y 2 /2a

f) La suma de las dos integrales dadas origina la regi´n dada por la figura.
o
8

1
1 2

8

Al cambiar el orden de integraci´n, queda sencillamente:
o
8

I=

y

dy

8. Calcular las siguientes integrales:
2

(a)

3x+1

dx
1

xy dy.
2x
|x|

1

(b)

ex+y dy.

dx
−1

−2|x|
√
1−x2

1

(c)

1 − x2 − y 2 dy.dx
0

f (x, y) dx.
y 1/3

1

0

3

1

1

(d)

(x + y)2 dx.

dy
−1

|y|

8

√
3

(e)

y

2

ex dx.

dy
y/4

0

Soluci´n
o
(a) Basta resolver directamente las integrales iteradas para obtener:
2

3x+1

2

xy dy

dx

=
1

2x

1

2

=
1

3x+1

xy 2
2

2

x(3x + 1)2
x(2x)2
−
2
2

dx =
1

2x

5x3 + 6x2 + x
dx =2

dx

2

5x4
x2
+ x3 +
8
4

=
1

137
.
8

(b) Calculamos primero la integral respecto a la variable y:
|x|

1

dx
−1

|x|

1
x+y

e
−2|x|

1

x+y

dy =

e
−1

(ex+|x| − ex−2|x| ) dx.

dx =
−1

−2|x|

Ahora descomponemos la integral simple en suma de dos integrales para sustituir el valor
absoluto:
1

0

1

(ex+|x| − ex−2|x| ) dx =...